САМОСТІЙНА РОБОТА 6 [12М]

Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику. Властивість бісектриси трикутника. Застосування подібності трикутників до розв'язування задач

ВАРІАНТ 1

Завдання 1 МА – відрізок дотичної до кола. Дві січні перетинають коло відповідно в точках С і D, К і L. Яка з рівностей правильна?

Пропорційність січних.

Якщо MD і MK – січні з точки М, січна MD перетинає коло в точках D і C, січна МК перетинає коло у точках K і L, то MC • MD = MK • ML.

Пропорційність дотичної і січної.

Якщо АМ дотична до кола і MD січна з точки М поза колом, дотична АМ дотикається до кола в точці А, січна МD  перетинає коло у точках С і D, то MА² = MС • МD.

Якщо АМ дотична до кола і ML січна з точки М поза колом, дотична АМ дотикається до кола в точці А, січна МL  перетинає коло у точках K і L, то MА² = MK • МL.

A MA² = МК • KL

Б MA² = МС • MD

B МС • CD = МК • KL

Г МС • MD = МК • KL

Завдання 2 Катет прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а його проекція на гіпотенузу – 4 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

За умовою а = 8 см, с_а = 4 см.

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи та проекції цього катета на гіпотенузу.

a² = c • c_а

c = a²c_a = 8²4 = 644 = 16 (см)

Відповідь: 16 см.

Завдання 3 Сторони трикутника дорівнюють 9 см і 6 см, а бісектриса трикутни­ка, проведена до третьої сторони, ділить її на відрізки, різниця яких дорівнює 1 см. Знайдіть периметр трикутника.

За умовою АВ = 9 см, ВС = 6 см, ВО – бісектриса трикутника, АО – ОС = 1 см.

ABBC = AOOC (за теоремою про властивість бісектриси трикутника).

АВ • ОС = АО • ВС

9 • ОС = 6 • АО

Врахуємо, що АО = 1 см + ОС, то

9 • ОС = 6 • (1 см + ОС)

9 • ОС = 6 см + 6 • ОС

9 • ОС – 6 • ОС = 6 см

3 • ОС = 6 см

ОС = 6 см : 3 = 2 см

АО = 1 + ОС = 3 (см)

Р_ABC = АВ + ВС + АО + ОС = 9 см + 6 см + 2 см + 3 см = 20 см  

Відповідь: Р_ABC = 20 см.

Завдання 4 Коло, вписане у трапецію, точкою дотику ділить бічну сторону на відрізки 2 см і 8 см завдовжки. Знайдіть висоту трапеції.

ВАРІАНТ 2

Завдання 1 КС – відрізок дотичної до кола. Дві січні перетинають коло відповідно в точках А і В, М і N. Яка з рівностей правильна?

A КА •  АВ = KM •  KN

Б КС² = КА • АВ

B КА • KB = KM • KN

Г КС² = KM • MN

Завдання 2 Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а гіпотенуза – 12  см. Знайдіть проекцію цього катета на гіпотенузу.

За умовою а = 6 см, с = 12 см. 

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи та проекції цього катета на гіпотенузу.

a² = c • c_а

c_а = a²c = 6²12= 3612 = 3 (см)

Відповідь: 3 см.

Завдання 3 Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, різниця яких 1 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо дві інші його сторони дорівнюють 10 см і 8 см.

Завдання 4 Коло, вписане у трапецію, точкою дотику ділить бічну сторону на відрізки 1 см і 9 см завдовжки. Знайдіть висоту трапеції.

ВАРІАНТ 3

Завдання 1 АВ – відрізок дотичної до кола. Дві січні перетинають коло відповідно в точках С і D, К і L. Яка з рівностей правильна?

A АС • CD = АК • AL

Б АС • AD = АК • KL

B АВ² = АС • AD

Г АВ² = АК • KL

Завдання 2 Катет прямокутного трикутника дорівнює 10 см, а його проекція на гіпотенузу – 4 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

За умовою а = 10 см, с_а = 4 см.

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи та проекції цього катета на гіпотенузу.

a² = c • c_а

c = a²c_a = 10²4 = 1004 = 25 (см)

Відповідь: 25 см.

Завдання 3 Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, різниця яких 2 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо дві інші сторони дорів­нюють 6 см і 10 см.

Завдання 4 Коло, вписане у трапецію, точкою дотику ділить бічну сторону на відрізки 1 см і 16 см завдовжки. Знайдіть висоту трапеції.

ВАРІАНТ 4

Завдання 1 NC – відрізок дотичної до кола. Дві січні пере­тинають коло відповідно в точках А і В, К і L. Яка з рівностей правильна?

A NA • NB = NK • NL 

Б NC² = NA • АВ

Б NA • NB = NK • KL

Г NC² = NL • KL

Завдання 2 Катет прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а гіпотенуза – 32 см. Знайдіть проекцію цього катета на гіпотенузу.

За умовою а = 8 см, с = 32 см. 

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи та проекції цього катета на гіпотенузу.

a² = c • c_а

c_а = a²c = 8²32 = 6432 = 2 (см)

Відповідь: 2 см.

Завдання 3 Сторони трикутника дорівнюють 8 см і 12 см, а бісектриса трикут­ника, проведена до третьої сторони, ділить її на відрізки, різниця яких 2 см. Знайдіть периметр трикутника.

Завдання 4 Коло, вписане у трапецію, точкою дотику ділить бічну сторону на відрізки 4 см і 25 см завдовжки. Знайдіть висоту трапеції.