ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

КОНТРОЛЬНА РОБОТА ЗА 8 КЛАС

ВАРІАНТ 4

Завдання 1

$\frac{7a\text{–}3}{x}+\frac{3}{x}$ = $\frac{7a\text{–}3+3}{x}$ = $\frac{7a}{x}$

А $\frac{7a\text{–}6}{x}$      Б $\frac{7a+6}{x}$

B $\frac{7a}{2x}$         Г $\frac{7a}{x}$

Завдання 2 Подайте вираз c¹⁶ : c^–2 у вигляді степеня з основою c.

c¹⁶ : c^—2 = c^{16 – (—2)} = c¹⁶⁺² = c¹⁸

А c¹⁸    Б c^—8     В c¹⁴      Г c^—32

Завдання 3 Для функції $y=\sqrt{x}$ знайдіть значення у, яке відповідає значенню x = 4.

Графік функції – вітка параболи у І чверті, тому у ≥ 0.

y(4) = $\sqrt{4}$ = 2.

А —2   Б —2 або 2   В 2    Г 16

Завдання 4 Знайдіть значення виразу.

1) $12\frac{1}{4}$ +5$\sqrt{0\text{,}36}$ = $\sqrt{\frac{12\text{•}4+1}{4}}$ + 5 • 0,6 = $\sqrt{\frac{49}{4}}$ + 3 = $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}$ + 3 = $\frac{7}{2}$ + 3 = 3,5 + 3 = 6,5

2) $\sqrt{20}$ • $\sqrt{0\text{,}05}$ + ${\left(\text{—}\sqrt{2}\right)}^2$= $\sqrt{20\text{•}0\text{,}05}$ + (—1)²($\sqrt{2}$)² = $\sqrt{1}$ + 2 = 1 + 2 = 3

Завдання 5 Спростіть вираз.

$\frac{4}{9}$x^—3y⁸ • (—$1\frac{11}{16}$x^—2y^—3) = $\frac{4}{9}$ • (— $\frac{1\text{•}16+11}{16}$) • x^—3+(—2)y^8+(—3) =

= $\frac{4}{9}$• (— $\frac{27}{16}$) • x^—5y⁵ = — $\frac{3}{4}$• x^—5y⁵ = —0,75 ^x—5y⁵

Завдання 6 Розв'яжіть рівняння.

1) 2х² – 5х – 18 = 0

D= (—5)² – 4 • 2 • (—18) = 25 + 144 = 169 = 13²

x1 = $\frac{5+13}{2\text{•}2}$ = $\frac{18}{4}$ = 4,5

x2 = $\frac{5\text{–}13}{2\text{•}2}$= —$\frac{8}{4}$= —2

Відповідь: 4,5; —2.

2) $\frac{x^2}{x\text{–}2}$ = $\frac{5x\text{–}6}{x\text{–}2}$

ОВР (область визначення рівняння): х – 2 ≠ 0, тому x ≠ 2.

$\frac{x^2}{x\text{–}2}$– $\frac{5x\text{–}6}{x\text{–}2}$ = 0

$\frac{x^2\text{–}\left(5x\text{–}6\right)}{x\text{–}2}$ = 0

$\frac{x^2\text{–}5x+6}{x\text{–}2}$ = 0

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

x² – 5x + 6 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x₁x₂ = 6

x₁ + x₂ = 5

Маємо корені:

x₁ = 2

x₂ = 3

Враховуючи умову x ≠ 2, маємо один корінь.

Відповідь: 3.

Завдання 7 Спростіть вираз.

2) $\frac{2c}{c+3}$ – $\frac{c\text{–}3}{2c+6}$• $\frac{36}{c^2\text{–}3c}$ =

= $\frac{2c}{c+3}$ – $\frac{c\text{–}3}{2(c+3)}$• $\frac{36}{c\left(c\text{–}3\right)}$ =

= $\frac{2c}{c+3}$ – $\frac{18}{c(c+3)}$ =

= $\frac{2c\text{•}c}{c(c+3)}$ – $\frac{18}{c(c+3)}$ =

= $\frac{2c^2\text{–}18}{c(c+3)}$ = $\frac{2\left(c^2\text{–}9\right)}{c(c+3)}$ =

= $\frac{2\left(c^2\text{–}{3}^2\right)}{c(c+3)}$ = $\frac{2\left(c\text{–}3\right)(c+3)}{c(c+3)}$ =

= $\frac{2\left(c\text{–}3\right)}{c}$

Завдання 8 Катер проплив 120 км за течією річки і повернувся назад, витра¬тивши на весь шлях 11 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.

Нехай x (км/год) – власна швидкість човна, х – 2 (км/год) – швидкість човна за течією, $\frac{120}{x\text{–}2}$ (год) – час за течією, х + 2 (км/год) – швидкість човна проти течії, $\frac{120}{x\text{+}2}$ (км/год) – час проти течії річки. Маємо рівняння.

$\frac{120}{x\text{–}2}$ + $\frac{120}{x\text{+}2}$ = 11

ОВР (область визначення рівняння):

{	х + 2 ≠ 0, звідси х ≠ —2 х – 2 ≠ 0, звідси х ≠ 2

$\frac{120}{x\text{–}2}$ + $\frac{120}{x\text{+}2}$ – 11 = 0

$\frac{120(x+2)}{\left(x\text{–}2\right)(x+2)}$ + $\frac{120\left(x\text{–}2\right)}{(x+2)\left(x\text{–}2\right)}$– $\frac{11(x+2)\left(x\text{–}2\right)}{(x+2)\left(x\text{–}2\right)}$ = 0

$\frac{120(x+2)+120\left(x\text{–}2\right)\text{–}11(x+2)\left(x\text{–}2\right)}{(x+2)\left(x\text{–}2\right)}$ = 0

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

120x + 240 + 120x – 240 – 11(x² – 4) = 0

240x – 11x² + 44 = 0     | : (—1)

—240x + 11x² – 44 = 0

11x² – 240x – 44 = 0

D= (—240)² – 4 • 11 • (—44) = 57600 + 1936 = 59536 = 244²

x₁ = $\frac{240+244}{2\text{•}11}$ = $\frac{484}{22}$ = 22

x₂ = $\frac{240\text{–}244}{2\text{•}11}$ = —$\frac{4}{22}$ (не підходить для швидкості).

Відповідь: 22 км/год.

Завдання 9 Побудуйте графік функції $y=\frac{16\text{–}8x}{x^2\text{–}2x}$

$y=\frac{16\text{–}8x}{x\left(x\text{–}2\right)}$

Область визначення функції:

{	x ≠ 0 2 – x ≠ 0, звідси x ≠ 2

Спростимо вираз.

y = $\frac{8\left(2\text{–}x\right)}{x\left(x\text{–}2\right)}$ = —$\frac{8\left(x\text{–}2\right)}{x\left(x\text{–}2\right)}$ = — $\frac{8}{x}$= —8 • $\frac{1}{x}$

Графіком функції є гіпербола, розміщена у ІІ і ІV чверті.

Оскільки для х≠ 2 маємо y(2) = —8 • $\frac{1}{2}$ = —4, то точка (2, —4) не належить графіку.

Задамо точки для побудови графіка функції.

x	1	2	4	—1	—2	—4
y	—8	—4	—2	8	4	2