ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

КОНТРОЛЬНА РОБОТА ЗА 8 КЛАС

ВАРІАНТ 1

Завдання 1

$\frac{\text{З}m\text{–}7}{p}+\frac{7}{p}$ = $\frac{3m\text{–}7+7}{p}$ = $\frac{3m}{p}$

А $\frac{3m}{2p}$         Б $\frac{3m}{p}$

B $\frac{3m\text{–}14}{p}$      Г $\frac{3m+14}{p}$

Завдання 2 Подайте вираз a¹² : a^–2 у вигляді степеня з основою а.

a¹² : a^–2 = a^{12 – (–2)} = a¹²⁺² = a¹⁴

А a¹⁰     Б a^—6      В a¹⁴         Г a^—24

Завдання 3 Для функції $y=\sqrt{x}$ знайдіть значення у, яке відповідає значенню x = 16.

Графік функції – вітка параболи у І чверті, тому у ≥ 0.

y(16) = $\sqrt{16}$= 4

А 256     Б —4       В —4 або 4       Г 4

Завдання 4 Знайдіть значення виразу.

1) $\sqrt{2\frac{1}{4}}$ +5$\sqrt{0\text{,}16}$ = $\sqrt{\frac{2\text{•}4+1}{4}}$ + 5 • 0,4 =

= $\sqrt{\frac{9}{4}}$ + 2 = $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ + 2 = $\frac{3}{2}$ + 2 = 1,5 + 2 = 3,5

2) $\sqrt{5}\text{•}\sqrt{0\text{,}2}$ + (—$\sqrt{3}$)² = $\sqrt{5\text{•}0\text{,}2}$ + (—1)²($\sqrt{3}$)² = $\sqrt{1}$ + 3 = 1 + 3 = 4

Завдання 5 Спростіть вираз.

— $\frac{4}{9}$m^—3n⁵ • $3\frac{3}{8}$ m^—5n^—2 = — $\frac{4}{9}$ • $\frac{3\text{•}8+3}{3}$• m^—3+(—5)n^5+(—2) =

= — $\frac{4}{9}$ • $\frac{27}{8}$• m^—8n³ = — $\frac{3}{2}$ • m^—8n³ = —1,5 m^—8n³

Завдання 6 Розв'яжіть рівняння.

1) 2х² + 9х + 4 = 0

D= 9² – 4 • 2 • 4 = 81 – 32 = 49 = 7²

x1 = $\frac{\text{—}9+7}{2\text{•}2}$ = —$\frac{2}{4}$= —0,5

x2 = $\frac{\text{—}9\text{–}7}{2\text{•}2}$ = —$\frac{16}{4}$= —4

Відповідь: —0,5; —4.

2) $\frac{x^2}{x+1}$ = $\frac{2x+3}{x+1}$

ОВР (область визначення рівняння): х + 1 ≠ 0, тому x ≠ —1.

$\frac{x^2}{x+1}$– $\frac{2x+3}{x+1}$ = 0

$\frac{x^2\text{–}(2x+3)}{x+1}$ = 0

$\frac{x^2\text{–}2x\text{–}3}{x+1}$ = 0

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

x² – 2x – 3 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x₁x₂ = —3

x₁ + x₂ = 2

Маємо корені:

x₁ = 3

x₂ = —1

Враховуючи умову x ≠ —1, маємо один корінь.

Відповідь: 3.

Завдання 7 Спростіть вираз.

2) $\frac{3m}{m\text{–}4}$ – $\frac{m+2}{2m\text{–}8}$ • $\frac{96}{m^2+2m}$ =

= $\frac{3m}{m\text{–}4}$ – $\frac{m+2}{2\left(m\text{–}4\right)}$ • $\frac{96}{m(m+2)}$ =

= $\frac{3m}{m\text{–}4}$ – $\frac{48}{\left(m\text{–}4\right)m}$ =

= $\frac{3m\text{•}m}{\left(m\text{–}4\right)m}$ – $\frac{48}{\left(m\text{–}4\right)m}$ =

= $\frac{3m^2\text{–}48}{\left(m\text{–}4\right)m}$= $\frac{3\left(m^2\text{–}16\right)}{\left(m\text{–}4\right)m}$ =

= $\frac{3\left(m^2\text{–}{4}^2\right)}{\left(m\text{–}4\right)m}$ = $\frac{3\left(m\text{–}4\right)(m+4)}{\left(m\text{–}4\right)m}$ =

= $\frac{3(m+4)}{m}$

Завдання 8 Моторний човен проплив 80 км за течією річки і повернувся назад, витративши на весь шлях 9 год. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.

Нехай x (км/год) – власна швидкість човна, х – 2 (км/год) – швидкість човна за течією, $\frac{80}{x\text{–}2}$ (год) – час за течією, х + 2 (км/год) – швидкість човна проти течії, $\frac{80}{x+2}$ (км/год) – час проти течії річки. Маємо рівняння.

$\frac{80}{x\text{–}2}$+ $\frac{80}{x+2}$ = 9

ОВР (область визначення рівняння):

{	х + 2 ≠ 0, звідси х ≠ —2 х – 2 ≠ 0, звідси х ≠ 2

$\frac{80}{x\text{–}2}$ + $\frac{80}{x+2}$ – 9 = 0

$\frac{80(x+2)}{\left(x\text{–}2\right)(x+2)}$ + $\frac{80\left(x\text{–}2\right)}{(x+2)\left(x\text{–}2\right)}$ – $\frac{9(x+2)\left(x\text{–}2\right)}{(x+2)\left(x\text{–}2\right)}$ = 0

$\frac{80(x+2)+80\left(x\text{–}2\right)\text{–}9(x+2)\left(x\text{–}2\right)}{(x+2)\left(x\text{–}2\right)}$ = 0

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

80x + 160 + 80x – 160 – 9(x² – 4) = 0

160x – 9x² + 36 = 0     | : (—1)

—160x + 9x² – 36 = 0

9x² – 160x – 36 = 0

D= (—160)2 – 4 • 9 • (—36) = 25600 + 1296 = 26896 = 164²

x1 = $\frac{160+164}{2\text{•}9}$ = $\frac{324}{18}$= 18

x2 = $\frac{160\text{–}164}{2\text{•}9}$ = —$\frac{4}{18}$ (не підходить для швидкості).

Відповідь: 18 км/год.

Завдання 9 Побудуйте графік функції $y=\frac{6x\text{–}18}{3x\text{–}{x}^2}$.

$y=\frac{6x\text{–}18}{x\left(3\text{–}x\right)}$

Область визначення функції:

{	x ≠ 0 3 – x ≠ 0, звідси x ≠ 3

Спростимо вираз.

y = $\frac{6\left(x\text{–}3\right)}{x\left(3\text{–}x\right)}$ = $\frac{6\left(x\text{–}3\right)}{\text{—}x\left(3\text{–}x\right)}$ = — $\frac{6}{x}$ = —6 • $\frac{1}{x}$

Графіком функції є гіпербола, розміщена у ІІ і ІV чверті.

Оскільки для х≠ 3 маємо y(3) = —6 • $\frac{1}{3}$ = —2, то точка (3, —2) не належить графіку.

Задамо точки для побудови графіка функції.

—1	—2	—3	1	3	3
6	3	2	—6	—3	—2