ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

КОНТРОЛЬНА РОБОТА ЗА ІІ СЕМЕСТР

ВАРІАНТ 1

Завдання 1 Яке з рівнянь не має коренів?

$\sqrt{x}$ = —6, для графіка функції $y=\sqrt{x}$, область значень y ≥ 0. Область значень не може бути від’ємним числом, тому рівняння не має коренів.

A $\sqrt{x}$ = —6       Б $\sqrt{x}$ = 6

B х² = 6            Г х² = 36

Завдання 2 Нехай х₁ і х₂ – корені рівняння х² + 2x – 5 = 0. Тоді x₁х₂ = ...

Добуток коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює вільному члену.

x₁x₂ = —5

А 2    Б —2      В 5      Г —5

Завдання 3 Яке з чисел є коренем квадратного тричлена х² – 2х – 15?

Число має бути коренем рівняння х² – 2х – 15 = 0.

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = —15

t₁ + t₂ = 2

Маємо корені:

t₁ = 5

t₂ = —3

А —5    Б 5      В З     Г 0

Завдання 4

$\sqrt{6\frac{1}{4}}$ – (—2$\sqrt{5}$)² = $\sqrt{\frac{6\text{•}4+1}{4}}$ – (—2)^{2${\left(\sqrt{5}\right)}^2$} =

= $\sqrt{\frac{25}{4}}$ – 4 • 5 = $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ – 20 = $\frac{5}{2}$ – 20 = 2,5 – 20 = —17,5

А —18,5      Б —7,5     В —17,5       Г 12,5

Завдання 5 Розв'яжіть рівняння.

7х² – 2х = 0

x(7x – 2) = 0

x = 0

або

7x – 2 = 0 7x = 2 x = $\frac{2}{7}$

А $\frac{2}{7}$   Б 0; $\frac{2}{7}$    В 0; 3,5     Г 0; —$\frac{2}{7}$

Завдання 6 Розв'яжіть рівняння

$\frac{x^2}{x\text{–}3}$ = $\frac{9}{x\text{–}3}$

ОВР (область визначення рівняння): х – 3 ≠ 0, звідси х ≠ 3.

$\frac{x^2}{x\text{–}3}$ – $\frac{9}{x\text{–}3}$ = 0

$\frac{x^2\text{–}9}{x\text{–}3}$ = 0

$\frac{x^2\text{–}{3}^2}{x\text{–}3}$= 0

$\frac{\left(x\text{–}3\right)(x+3)}{x\text{–}3}$ = 0

x + 3 = 0

x = —3

А З    Б 3; —З     В —З      Г Коренів немає

Завдання 7 Знайдіть значення виразу $\frac{5x+10}{2x^2\text{–}x\text{–}10}$, якщо х = 3,5.

$\frac{5\text{•}3\text{,}5+10}{2\text{•}{\left(3\text{,}5\right)}^2\text{–}3\text{,}5\text{–}10}$ = $\frac{27\text{,}5}{11}$ = 2.5

5 • 3,5 + 10 = 17,5 + 10 = 27,5

2 • (3,5)² – 3,5 – 10 = 2 • 12,25 – 13,5 = 24,5 – 13,5 = 11

ІІ спосіб

Спростимо вираз.

У чисельнику винесемо за дужки спільний множник.

У знаменнику квадратне рівняння 2х² – х – 10 = 0 розкладемо на множники.

D = (—1)² – 4 • 2 • (—10) = 1 + 80 = 81 = 9² 

x₁ = $\frac{1+9}{2\text{•}2}$ = $\frac{10}{4}$ = $\frac{5}{2}$

x₂ = $\frac{1\text{–}9}{2\text{•}2}$ = —$\frac{8}{4}$ = —2

2x – x² – 10 = 2(x – $\frac{5}{2}$)(x + 2) = (2x – 5)(x + 2)

$\frac{5x+10}{2x^2\text{–}x\text{–}10}$ = $\frac{5(x+2)}{\left(2x\text{–}5\right)(x+2)}$ =

= $\frac{5}{2x\text{–}5}$ = $\frac{5}{2\text{•}3\text{,}5\text{–}5}$ =$\frac{5}{7\text{–}5}$ = $\frac{5}{2}$ = 2,5

А 0,5      Б $\frac{5}{12}$       В 5       Г 2,5

Завдання 8 Сума двох послідовних натуральних чисел на 271 менша за їх добуток. Знайдіть суму цих чисел.

Нехай х – перше натуральне число, х + 1 – наступне натуральне число, х + х + 1 – сума, x(x + 1) – добуток. Маємо рівняння.

x(x + 1) – (x + x + 1) = 271

x² + x – x – x – 1 – 271 = 0

x² – x – 272 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

(для послідовних чисел можна знайти $\sqrt{272}$ ≈ 16,49 і перевірити, що 16 • 17 = 272)

x₁x₂ = —272

x₁ + x₂ = 1

Маємо корені:

x₁ = 17

x₂ = —16 (не є натуральним числом).

x = 17 – перше натуральне число.

x + 1 = 17 + 1 = 18 – друге натуральне число.

17 + 18 = 35 – сума чисел.

А 31      Б 33      В 35      Г 37

Завдання 9 Обчисліть.

${\left(\sqrt{5\text{–}2\sqrt{6}}\text{–}\sqrt{5+2\sqrt{6}}\right)}^2$ =

${\left(\sqrt{5\text{–}2\sqrt{6}}\right)}^2$ – $2\sqrt{5\text{–}2\sqrt{6}}\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ + ${\left(\sqrt{5\text{+}2\sqrt{6}}\right)}^2$ =

= 5 – 2$\sqrt{6}$ – 2$\sqrt{\left(5\text{–}2\sqrt{6}\right)(5+2\sqrt{6})}$ + 5 + 2$\sqrt{6}$ =

= 5 – 2$\sqrt{6}$ – 2$\sqrt{5^2\text{–}{\left(2\sqrt{6}\right)}^2}$ + 5 + 2$\sqrt{6}$ =

= 10 – 2 • $\sqrt{25\text{–}{2}^2{\left(\sqrt{6}\right)}^2}$ =

= 10 – 2 • $\sqrt{25\text{–}4\text{•}6}$ =

= 10 – 2 • $\sqrt{25\text{–}24}$ =

= 10 – 2 • $\sqrt{1}$ = 10 – 2 = 8

А 12     Б 8      В 10      Г 6

Завдання 10 Відповідність між рівнянням та розв'язком.

Рівняння 1. ——> Б —3

3$\sqrt{2x+10}$ – 6 = 0     | : 3

$\sqrt{2x+10}$ – 2 = 0

$\sqrt{2x+10}$ = 2

За означенням арифметичного кореня

2x+10 = 2²

2x + 10 = 4

2x = 4 – 10

2x = —6

x = — $\frac{6}{2}$ = — 3

Відповідь: —3.

Рівняння 2. ——> В 3

x³ – 3x² + x – 3 = 0

x²(x – 3) + (x – 3) = 0

(x – 3) (x² + 1) = 0

x – 3 = 0 x = 3

x2 + 1 = 0 x2 = —1 не має коренів.

Відповідь: 3.

Рівняння 3. ——> А —3; 3

(х² – 10)² + 2(х² – 10) + 1 = 0

t = x² – 10, тоді рівняння набуде вигляду

t² + 2t + 1 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = 1

t₁ + t₂ = —2

Маємо корені:

t₁ = —1

t₂ = —1

Повернемось до змінної х.

x² – 10 = —1

x² = —1 + 10

x² = 9

х = ±$\sqrt{9}$

х = ±3

Відповідь: —3; 3.