ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА №6 [11М]

Квадратний тричлен. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних, та задач за допомогою рівнянь

ВАРІАНТ 3

Завдання 1 Укажіть вираз, що є квадратним тричленом?

Квадратний тричлен – це многочлен виду ax² + bx + a

A $\frac{1}{5x^2+\text{х –}9}$           Б 5х² + x – 9x³
B $\frac{5}{x^2+\text{х –}9}$            Г 5х² + х – 9

Завдання 2 Знайдіть дискримінант квадратного тричлена 2х² – 5х – 9.

D = (—5) ² – 4 • 2 • (—9) = 25 + 72 = 97

A —47    Б 61     В 97      Г 99

Завдання 3 Укажіть рівняння, що є біквадратним?

Біквадратне рівняння — рівняння виду ax⁴ + bx² + c = 0, де ≠ 0.

А 5х³ + х² – 3 = 0               Б 5х⁴ + х² – 3 = 0
B 5х⁴ + 2х³ + х² – 3 = 0     Г 5х² + х – 3 = 0

Завдання 4 

1) Розкладіть квадратний тричлен х² + 2х – 3 на множники.

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x² + 3x – 4 = 0
х₁х₂ = —4
х₁ + х₂ = —3
Маємо корені:
х₁ = 1
х₂ = —4
х² + 3х – 4 = (x – 1)(x + 4)

2) Розкладіть квадратний тричлен —2х² + 7х – 3 на множники.

Знайдемо корені рівняння.

D = 7² – 4 • (—2) • (—3) = 49 – 24 = 25 = 5² 
x₁ = $\frac{\text{—}7+5}{2\text{•}\left(\text{—}2\right)}$ = $\frac{\text{—}2}{\text{—}4}$ = $\frac{1}{2}$ = 0,5
x₂ = $\frac{\text{—}7\text{–}5}{2\text{•}\left(\text{—}2\right)}$ = $\frac{\text{—}12}{\text{—}4}$ = 3
—2х² + 7х – 3 = —2(x – 0,5)(x – 3) = (—2x + 1)(x – 3) = (1 – 2x)(x – 3)

Завдання 5 Знайдіть корені рівняння.

1) х⁴ + 2х² – 24 = 0

t = x², тоді рівняння набуде вигляду

t² + 2t – 24 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = —24

t₁ + t₂ = —2

Маємо корені:

t₁ = 4

t₂ = —6

Повернемось до змінної х.

x² = 4, х = ±$\sqrt{4}$= ±2, х₁ = 2, х₂ = —2.

x² = —6, рівняння коренів не має.

Відповідь: —2; 2.

 

2) $\frac{x^2}{\text{х–}3}$ = $\frac{9}{\text{х –}3}$

ОВР (область визначення рівняння): х – 3 ≠ 0, тому х ≠ 3.

$\frac{x^2}{\text{х–}3}$ – $\frac{9}{\text{х –}3}$ = 0

$\frac{x^2\text{–}9}{\text{х–}3}=0$ 

$\frac{\left(\text{х–}3\right)(\text{х}+3)}{\text{х–}3}=0$

х + 3 = 0

х = —3

Відповідь: —3.

Завдання 6 Розв'яжіть рівняння, розклавши його ліву части­ну на множники.

x³ – 6х² – 7х = 0

x(x² – 6x – 7) = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x² – 6x – 7 = 0

x₁x₂ = —7

x₁ + x₂ = 6

Маємо корені:

x₁ = 7

x₂ = —1

Початкове рівняння набуде вигляду:

x(x – 7)(x + 1) = 0

{	х = 0 х – 7 = 0 х + 1 = 0
{	х = 0 х = 7 х = —1

Відповідь: —1; 0; 7. 

Завдання 7

1) Скоротіть дріб $\frac{x^2+\text{х –}6}{x^2\text{–}2\text{х}}$.

У знаменнику винесемо за дужки спільний множник.

У чисельнику квадратне рівняння розкладемо на множники,

За теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння х² + х – 6 = 0 знайдемо корені.

x₁x₂ = —6

x₁ + x₂ = —1

Маємо корені:

x₁ = 2

x₂ = —3

$\frac{x^2+\text{х –}6}{x^2\text{–}2\text{х}}$ = $\frac{\left(x\text{–}2\right)(x+3)}{x\left(x\text{–}2\right)}$ = $\frac{x+3}{x}$

2) Скоротіть дріб $\frac{x^2\text{–}25}{2x^2\text{–}11x+5}$. 

У чисельнику застосуємо формулу різниці квадратів.

У знаменнику квадратне рівняння розкладемо на множники.

2х² – 11x + 5 = 0

D= (—11)² – 4 • 2 • 5 = 121 – 40 = 81 = 9² 

x₁ = $\frac{11+9}{2\text{•}2}$ = $\frac{20}{4}$= 5 
x₂ = $\frac{11\text{–}9}{2\text{•}2}$ = $\frac{2}{4}$ = 0,5
$\frac{x^2\text{–}25}{2x^2\text{–}11x+5}$ = $\frac{x^2\text{–}{5}^2}{2\left(\text{х–}5\right)\left(\text{х–}0\text{,}5\right)}$ = 
= $\frac{\left(\text{х–}5\right)(\text{х}+5)}{2\left(\text{х–}5\right)\left(\text{х–}0\text{,}5\right)}$ = $\frac{x+5}{2\left(x\text{–}0\text{,}5\right)}$ = $\frac{x+5}{2x\text{–}1}$ 

Завдання 8 З одного міста в інше, відстань між якими 240 км, виїхали одно­часно два мотоциклісти. Швидкість першого була на 8 км/год мен­шою за швидкість другого, тому він прибув у пункт призначення на 1 год пізніше. Знайдіть швидкість кожного з мотоциклістів.

Нехай х (км/год) – швидкість другого мотоцикліста, $\frac{240}{x}$ (год) – час другого мотоцикліста, х – 8 (км/год) – швидкість першого мотоцикліста, $\frac{240}{\left(\text{х–}8\right)}$ (год) – час першого мотоцикліста. Маємо рівняння.

$\frac{240}{\text{х–}8}\text{–}\frac{240}{x}=1$

ОВР (область визначення рівняння):

{

х ≠ 0 х – 8 ≠ 0

{

х ≠ 0 х ≠ 8

$\frac{240\text{х}}{\left(\text{х–}8\right)\text{х}}$ – $\frac{240\left(\text{х–}8\right)}{\text{х}\left(\text{х–}8\right)}$ – $\frac{\text{х}\left(\text{х–}8\right)}{\text{х}\left(\text{х–}8\right)}$ = 0

$\frac{240\text{х –}240\left(\text{х–}8\right)\text{–х}\left(\text{х–}8\right)}{\text{х}\left(\text{х–}8\right)}$ = 0

$\frac{240\text{х–}240\text{х}+1920\text{–}{x}^2+8\text{х}}{\text{х}\left(\text{х–}8\right)}$ = 0

—х² + 8х + 1920 = 0     | •(—1)

х² – 8х – 1920 = 0

D= 8² – 4 • 1 • (—1920) = 64 + 7680 = 7744 = 88² 

x₁ = $\frac{8+88}{2\text{•}1}$ = $\frac{96}{2}$= 48 
x₂ = $\frac{8\text{–}88}{2\text{•}1}$ = —$\frac{80}{2}$ = —40 (не підходить для швидкості)

x = 48 (км/год) – швидкість другого мотоцикліста.

х – 8 = 48 – 8 = 40 (км/год) – швидкість першого мотоцикліста.

Відповідь: 40 км/год, 48 км/год.

Завдання 9 Розв'яжіть рівняння:

1) х + 5$\sqrt{x}$ – 14 = 0

t = $\sqrt{x}$, тоді рівняння набуде вигляду 

t² + 5t – 14 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = —14

t₁ + t₂ = —5

Маємо корені:

t₁ = 2

t₂ = —7

Повернемось до змінної х.

$\sqrt{x}$ = 2, за означенням x = 2² = 4 
$\sqrt{x}$ = —7, для графіка функції $y=\sqrt{x}$, область значень y ≥ 0. Область значень не може бути від’ємним числом, тому рівняння не має коренів. 
Відповідь: 4.

2) (х +3)⁴ – 5(х + 3)² – 6 = 0.

t = (x + 3)², тоді рівняння набуде вигляду

t² – 5t – 6 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = —6

t₁ + t₂ = 5

Маємо корені:

t₁ = 6

t₂ = —1

Повернемось до змінної х. 

(x + 3)² = 6

(x + 3)² = —1, рівняння не має коренів.

Знайдемо корені рівняння:

(x + 3)² = 6

(x + 3)² – 6 = 0

(x + 3)² – ($\sqrt{6}$)² = 0 

(х + 3 – $\sqrt{6}$)(х + 3 + $\sqrt{6}$) = 0

x + 3 – $\sqrt{6}$ = 0  x = — 3 + $\sqrt{6}$

або

x + 3 + $\sqrt{6}$ = 0  x =  —3 – $\sqrt{6}$

Відповідь: —3 – $\sqrt{6}$; —3 + $\sqrt{6}$.