ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

КОНТРОЛЬНА РОБОТА ЗА 8 КЛАС

ВАРІАНТ 2

Завдання 1

$\frac{5x\text{–}9}{m}$ + $\frac{9}{m}$ = $\frac{5x\text{–}9+9}{m}$ = $\frac{5x}{m}$

А $\frac{5x+18}{m}$     Б $\frac{5x}{2m}$

B $\frac{5x}{m}$            Г $\frac{5x\text{–}18}{m}$

Завдання 2 Подайте вираз x¹⁵ : x^–3 у вигляді степеня з основою а.

x¹⁵ : x^–3 = x^{15 – (—3}) = x¹⁵⁺³ = x¹⁸

А x¹²     Б x¹⁸     В x^—5      Г x^—45

Завдання 3 Для функції $y=\sqrt{x}$ знайдіть значення у, яке відповідає значенню x = 9.

Графік функції – вітка параболи у І чверті, тому у ≥ 0.

y(9) = $\sqrt{9}$ = 3.

А 3     Б —3 або 3     В —3       Г 81

Завдання 4 Знайдіть значення виразу.

1) $\sqrt{1\frac{7}{9}}$ +5$\sqrt{0\text{,}64}$ = $\sqrt{\frac{1\text{•}9+7}{9}}$ + 5 • 0,8 = $\sqrt{\frac{16}{9}}$ + 4 = $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}$ + 4 = $\frac{4}{3}$+ 4 = $1\frac{1}{3}$ + 4 = $5\frac{1}{3}$

2) $\sqrt{2}$ • $\sqrt{0\text{,}5}$ + (—$\sqrt{7}$)² = $\sqrt{2\text{•}0\text{,}5}$ + (—1)²($\sqrt{7}$)² = $\sqrt{1}$ + 7 = 1 + 7 = 8

Завдання 5 Спростіть вираз.

$\frac{5}{9}$a^—2b⁴ • (—$2\frac{7}{10}$a^—5b^—2) = — $\frac{5}{9}$ • $\frac{2\text{•}10+7}{10}$• a^—2+(—5)b^4+(—2) =

= — $\frac{5}{9}$ • $\frac{27}{10}$ • a^—7b² = — $\frac{3}{2}$ • a^—7b² = —1,5a^—7b²

Завдання 6 Розв'яжіть рівняння.

1) 2х² + 9х – 5 = 0

D= 9² – 4 • 2 • (—5) = 81 + 40 = 121 = 11²

x1 = $\frac{\text{—}9+11}{2\text{•}2}$ = $\frac{2}{4}$ = 0,5

x2 = $\frac{\text{—}9\text{–}11}{2\text{•}2}$ = —$\frac{20}{4}$= —5

Відповідь: 0,5; —5.

2) $\frac{x^2}{x+2}$ = $\frac{2x+8}{x+2}$

ОВР (область визначення рівняння): х + 2 ≠ 0, тому x ≠ —2.

$\frac{x^2}{x+2}$ – $\frac{2x+8}{x+2}$= 0

$\frac{x^2\text{–}(2x+8)}{x+2}$ = 0

$\frac{x^2\text{–}2x\text{–}8}{x+2}$ = 0

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

x² – 2x – 8 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x₁x₂ = —8

x₁ + x₂ = 2

Маємо корені:

x₁ = 4

x₂ = —2

Враховуючи умову x ≠ —2, маємо один корінь.

Відповідь: 4.

Завдання 7 Спростіть вираз.

2) $\frac{5b}{b+3}$ – $\frac{b\text{–}6}{3b+9}$ • $\frac{135}{b^2\text{–}6b}$ =

= $\frac{5b}{b+3}$ – $\frac{b\text{–}6}{3(b+3)}$ • $\frac{135}{b\left(b\text{–}6\right)}$ =

= $\frac{5b}{b+3}$ – $\frac{135}{3(b+3)b}$ =

= $\frac{5b\text{•}b}{b(b+3)}$ – $\frac{45}{(b+3)b}$ =

= $\frac{5b^2\text{–}45}{(b+3)b}$ = $\frac{5\left(b^2\text{–}9\right)}{(b+3)b}$ =

= $\frac{5\left(b^2\text{–}{3}^2\right)}{(b+3)b}$ = $\frac{5\left(b\text{–}3\right)(b+3)}{(b+3)b}$=

= $\frac{5\left(b\text{–}3\right)}{b}$

Завдання 8 Катер проплив 72 км і повернувся назад, витративши на весь шлях 10 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год.

Нехай x (км/год) – власна швидкість катера, х – 3 (км/год) – швидкість катера за течією, $\frac{72}{x\text{–}3}$ (год) – час за течією, х + 3 (км/год) – швидкість катера проти течії, $\frac{72}{x+3}$ (км/год) – час проти течії річки. Маємо рівняння.

$\frac{72}{x\text{–}3}$ + $\frac{72}{x\text{+}3}$ = 10

ОВР (область визначення рівняння):

{	х + 3 ≠ 0, звідси х ≠ —3 х – 3 ≠ 0, звідси х ≠ 3

$\frac{72}{x\text{–}3}$ + $\frac{72}{x\text{+}3}$ – 10 = 0

$\frac{72(x+3)}{\left(x\text{–}3\right)(x+3)}$ + $\frac{72\left(x\text{–}3\right)}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ – $\frac{10(x+3)\left(x\text{–}3\right)}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$= 0

$\frac{72(x+3)+72\left(x\text{–}3\right)\text{–}10(x+3)\left(x\text{–}3\right)}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$= 0

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

72x + 216 + 72x – 216 – 10(x² – 9) = 0

144x – 10x² + 90 = 0        | : (—2)

—72x + 5x² – 45 = 0

5x² – 72x – 45 = 0

D= (—72)² – 4 • 5 • (—45) = 5184 + 900 = 6084 = 78²

x₁ = $\frac{72+78}{2\text{•}5}$ = $\frac{150}{10}$ = 15

x₂ = $\frac{72\text{–}78}{2\text{•}5}$ = —$\frac{6}{10}$ (не підходить для швидкості).

Відповідь: 15 км/год.

Завдання 9 Побудуйте графік функції $y=\frac{4x\text{–}8}{2x\text{–}{x}^2}$.

$y=\frac{4x\text{–}8}{x\left(2\text{–}x\right)}$

Область визначення функції:

{	x ≠ 0 2 – x ≠ 0, звідси x ≠ 2

Спростимо вираз.

y = $\frac{4\left(x\text{–}2\right)}{x\left(2\text{–}x\right)}$ = $\frac{4\left(x\text{–}2\right)}{\text{—}x\left(x\text{–}2\right)}$ = — $\frac{4}{x}$ = —4 • $\frac{1}{x}$

Графіком функції є гіпербола, розміщена у ІІ і ІV чверті.

Оскільки для х≠ 2 маємо y(2) = —4 • $\frac{1}{2}$ = —2, то точка (2, —2) не належить графіку.

Задамо точки для побудови графіка функції.

x	1	2	4	—1	—2	—4
y	—4	—2	—1	4	2	1