ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА №6 [11М]

Квадратний тричлен. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних, та задач за допомогою рівнянь

ВАРІАНТ 4

Завдання 1 Укажіть вираз, що є квадратним тричленом?

Квадратний тричлен – це многочлен виду ax² + bx + c, де a ≠ 0.

A $\frac{9}{x^2\text{–}x\text{–}7}$      Б 9х² – х – 7х³

B 9х² – х – 7       Г $\frac{1}{9x^2\text{–х–}7}$

 

Завдання 2 Знайдіть дискримінант квадратного тричлена Зх² + 2х – 7.

D = 2² – 4 • 3 • (—7) = 4 + 84 = 88

А 86     Б —80     В 32      Г 88

 

Завдання 3 Укажіть рівняння, що є біквадратним?

Біквадратне рівняння — рівняння виду ax⁴ + bx² + c = 0, де a ≠ 0.

A 6х⁴ + х² – 9 = 0      Б 6x² + х – 9 = 0

B 6х³ + х² – 9 = 0      Г 6x⁴ + х³ + х² – 9 = 0

 

Завдання 4

1) Розкладіть квадратний тричлен х² – 3х – 4 на множники.

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x² – 3x – 4 = 0

х₁х₂ = —4

х₁ + х₂ = 3

Маємо корені:

х₁ = 4

х₂ = —1

х² + 2х – 3 = (x – 4)(x + 1)

 

2) Розкладіть квадратний тричлен —2х² – 7х – 3 на множники.

Знайдемо корені рівняння.

D = (—7)² – 4 • (—2) • (—3) = 49 – 24 = 25 = 5² 

x1 = $\frac{7+5}{2\text{•}\left(\text{—}2\right)}$ = —$\frac{12}{4}$ = —3

x2 = $\frac{7\text{–}5}{2\text{•}\left(\text{—}2\right)}$ = $\frac{2}{\text{—}4}$ = — $\frac{1}{2}$= —0,5

—2х² – 7х – 3 = —2(x + 0,5)(x + 3) = — (2x + 1)(x + 3)

 

Завдання 5 Знайдіть корені рівняння.

1) х⁴ – 7х² – 18 = 0

t = x², тоді рівняння набуде вигляду

t² – 7t – 18 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = —18

t₁ + t₂ = 7

Маємо корені:

t₁ = 9

t₂ = —2

Повернемось до змінної х.

x² = 9, х = ±$\sqrt{9}$, x = ±3, х₁ = 3, х₂ = —3.

x² = —2, рівняння коренів не має.

Відповідь: —3; 3.

 

2) $\frac{x^2}{\text{х}+5}$ = $\frac{25}{\text{х}+5}$

ОВР (область визначення рівняння): х + 5 ≠ 0, тому х ≠ —5.

$\frac{x^2}{\text{х}+5}$ – $\frac{25}{\text{х}+5}$ = 0

$\frac{x^2\text{–}25}{\text{х}+5}=0$ 

$\frac{x^2\text{–}{5}^2}{\text{х}+5}=0$

$\frac{\left(\text{х–}5\right)(\text{х}+5)}{\text{х}+5}$ = 0

х – 5 = 0

х = 5

Відповідь: 5.

 

Завдання 6 Розв'яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на множники.

x³ + 4х² – 5х = 0

x(x² + 4x – 5) = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x² + 4x – 5 = 0

x₁x₂ = —5

x₁ + x₂ = —4

Маємо корені:

x₁ = 1

x₂ = —5

Початкове рівняння набуде вигляду:

x(x – 1)(x + 5) = 0

{

х = 0 х + 5 = 0 х – 1 = 0

{

х = 0 х = —5 х = 1

Відповідь: —5; 0; 1.

 

Завдання 7

1) Скоротіть дріб $\frac{x^2+3x}{x^2+x\text{–}6}$.

У чисельнику винесемо за дужки спільний множник.

У знаменнику квадратне рівняння розкладемо на множники.

За теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння х² + х – 6 = 0 знайдемо корені.

x₁x₂ = —6

x₁ + x₂ = —1

Маємо корені:

x₁ = 2

x₂ = —3

$\frac{x^2+3x}{x^2+x\text{–}6}$ = $\frac{\text{х}(\text{х}+3)}{\left(x\text{–}2\right)(x+3)}$ = $\frac{\text{х}}{x\text{–}2}$

 

2) Скоротіть дріб $\frac{\text{З}{x}^2\text{–}7\text{х}+2}{x^2\text{–}4}$.

У знаменнику застосуємо формулу різниці квадратів.

У чисельнику квадратне рівняння розкладемо на множники.

3х² – 7х + 2 = 0

D= (—7)² – 4 • 3 • 2 = 49 – 24 = 25 = 5²  

x1 = $\frac{7+5}{2\text{•}3}$= $\frac{12}{6}$ = 2

x2 = $\frac{7\text{–}5}{2\text{•}3}$= $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

3х² – 7х + 2 = 3(х – 2)(х – $\frac{1}{3}$) = (х – 2)(3х – 1)

$\frac{\text{З}{x}^2\text{–}7\text{х}+2}{x^2\text{–}4}$ = $\frac{\left(\text{х–}2\right)\left(3\text{х–}1\right)}{x^2\text{–}{2}^2}$ =

= $\frac{\left(\text{х –}2\right)\left(3\text{х –}1\right)}{\left(\text{х –}2\right)(\text{х}+2)}$= $\frac{3\text{х –}1}{\text{х}+2}$

 

Завдання 8 З одного міста в інше, відстань між якими 160 км, одночасно виїхали два потяги. Швидкість першого на 8 км/год менша від швидкості другого, тому він прибув у пункт призначення на 1 год пізніше (витратив більше часу). Знайдіть швидкість кожного з потягів.

Нехай х (км/год) – швидкість другого потяга, $\frac{160}{x}$ (год) – час другого потяга, х – 8 (км/год) – швидкість першого потяга, $\frac{160}{\text{х –}8}$ (год) – час першого потяга. Маємо рівняння.

$\frac{160}{\text{х –}8}$– $\frac{160}{x}$ = 1

ОВР (область визначення рівняння):

{

х ≠ 0 х – 8 ≠ 0

{

х ≠ 0 х ≠ 8

$\frac{160\text{х}}{\left(\text{х –}8\right)\text{х}}$ – $\frac{160\left(\text{х –}8\right)}{\text{х}\left(\text{х –}8\right)}$ – $\frac{\text{х}\left(\text{х –}8\right)}{\text{х}\left(\text{х –}8\right)}$ = 0

$\frac{160\text{х –}160\left(\text{х –}8\right)\text{–х}\left(\text{х –}8\right)}{\text{х}\left(\text{х –}8\right)}$ = 0

$\frac{160\text{х –}160\text{х}+1280\text{–}{x}^2+8\text{х}}{\text{х}\left(\text{х –}8\right)}$ = 0

—х² + 8х + 1280 = 0    |• (—1)

х² – 8х – 1280 = 0

D = 8² – 4 • 1 • (—1280) = 64 + 5120 = 5184 = 72²

x1 = $\frac{8+72}{2\text{•}1}$ = $\frac{80}{2}$= 40

x2 = $\frac{8\text{–}72}{2\text{•}1}$ = —$\frac{64}{2}$ = —32 (не підходить для швидкості)

x = 40 (км/год) – швидкість другого потяга.

X – 8 = 40 – 8 = 32 (км/год) – швидкість першого потяга.

Відповідь: 32 км/год, 40 км/год.

 

Завдання 9 Розв'яжіть рівняння:

1) х + 2$\sqrt{x}$ – 15 = 0

t = $\sqrt{x}$, тоді рівняння набуде вигляду

t² + 2t – 15 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = —15

t₁ + t₂ = —2

Маємо корені:

t₁ = 3

t₂ = —5

Повернемось до змінної х.

$\sqrt{x}$ = 3, за означенням x = 3² = 9

$\sqrt{x}$ = —5, для графіка функції $y=\sqrt{x}$, область значень y ≥ 0. Область значень не може бути від’ємним числом, тому рівняння не має коренів.

Відповідь: 9.

 

2) (х – 2)⁴ – 2(х – 2)² – 3 = 0

t = (x – 2)², тоді рівняння набуде вигляду

t² – 2t – 3 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = —3

t₁ + t₂ = 2

Маємо корені:

t₁ = 3

t₂ = —1

Повернемось до змінної х.

(x – 2)² = 3

(x – 2)² = —1, рівняння не має коренів.

Знайдемо корені рівняння:

(x – 2)² = 3

(x – 2)² – ($\sqrt{3}$)² = 0

(х – 2 – $\sqrt{3}$)(х – 2 + $\sqrt{3}$) = 0

x – 2 – $\sqrt{3}$ = 0 x = 2 + $\sqrt{3}$

або

x – 2 + √3 = 0 x = 2 – $\sqrt{3}$

Відповідь: 2 – $\sqrt{3}$; 2 + $\sqrt{3}$.