ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

КОНТРОЛЬНА РОБОТА ЗА ІІ СЕМЕСТР

ВАРІАНТ 1 

Завдання 1 Яке з рівнянь не має коренів?

$\sqrt{x}=\text{—}5$, для графіка функції $y=\sqrt{x}$, область значень y ≥ 0. Область значень не може бути від’ємним числом, тому  рівняння  не має коренів.

A х² = 25       Б х² = 5

B $\sqrt{x}$ = 5      Г $\sqrt{x}$ = —5

  

Завдання 2 Нехай х₁ і х₂ – корені рівняння х₂ + Зx – 7 = 0. Тоді x₁ + х₂ = ...

Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком.

x₁ + x₂ = —3

А З    Б —З     В 7      Г —7

 

Завдання 3 Яке з вказаних чисел є коренем квадратного тричлена x² – 3x – 10?

Число має бути коренем рівняння х² – 3х – 10 = 0.

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x₁x₂ = —10

x₁ + x₂ = 3

Маємо корені:

x₁ = 5

x₂ = —2

А 0    Б 2     В 5       Г —5

 

Завдання 4

$\sqrt{2\frac{1}{4}}$ – (—2$\sqrt{7}$)² = $\sqrt{\frac{2\text{•}4+1}{4}}$– (—2)²($\sqrt{7}$)² =

= $\sqrt{\frac{9}{4}}$ – 4 • 7 = $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$– 28 = $\frac{3}{2}$– 28 = 1,5 – 28 = —26,5

А —26,5    Б —12,5     В —25,5     Г 29,5

 

Завдання 5 Розв'яжіть рівняння.

 3х² – 2х = 0

 x(3x – 2) = 0

x = 0

або

3x – 2 = 0 3x = 2 x = $\frac{2}{3}$

 А $\frac{2}{3}$      Б 0; —$\frac{2}{3}$     В 0; $\frac{2}{3}$    Г 0; 1,5

 Завдання 6 Розв'яжіть рівняння.

 $\frac{x^2}{x+2}$ = $\frac{4}{x+2}$

 ОВР (область визначення рівняння): х + 2 ≠ 0, звідси х ≠ —2.

 $\frac{x^2}{x+2}$ – $\frac{4}{x+2}$ = 0

 $\frac{x^2\text{–}4}{x+2}$ = 0

 $\frac{x^2\text{–}{2}^2}{x+2}$ = 0

 $\frac{\left(x\text{–}2\right)(x+2)}{x+2}$ = 0

 x – 2 = 0

 x = 2

 А Коренів немає   Б —2; 2    В —2      Г 2

 

 Завдання 7 Знайдіть значення виразу $\frac{3x+6}{2x^2+x\text{–}6}$, якщо х = 2,5.

 Обчислимо значення у чисельнику.

 3 • 2,5 + 6 = 7,5 + 6 = 13,5

 Обчислимо значення у знаменнику.

 2 • (2,5)² + 2,5 – 6 = 2 • 6,25 – 3,5 = 12,5 – 3,5 = 9

 Знайдемо значення виразу:

 $\frac{3\text{•}2\text{,}5+6}{2\text{•}{\left(2\text{,}5\right)}^2+2\text{,}5\text{–}6}$ = $\frac{13\text{,}5}{9}$ = $\frac{135}{90}$ = 1,5

ІІ спосіб

Спростимо вираз.

У чисельнику винесемо за дужки спільний множник.

У знаменнику квадратне рівняння 2х² + х – 6 = 0 розкладемо на множники.

D = 1² – 4 • 2 • (—6) = 1 + 48 = 49 = 7² 

x1 = $\frac{\text{—}1+7}{2\text{•}2}$ = $\frac{6}{4}$= $\frac{3}{2}$

x2 = $\frac{\text{—}1\text{–}7}{2\text{•}2}$ = —$\frac{8}{4}$= —2

2x² + x – 6 = 2(x – $\frac{3}{2}$)(x + 2) = (2x – 3)(x + 2)

$\frac{3x+6}{2x^2+x\text{–}6}$ = $\frac{3(x+2)}{\left(2x\text{–}3\right)(x+2)}$=

= $\frac{3}{2x\text{–}3}$= $\frac{3}{2\text{•}2\text{,}5\text{–}3}$= $\frac{3}{5\text{–}3}$= $\frac{3}{2}$ = 1,5

А З      Б $\frac{3}{8}$      В 1,5       Г 0,5

Завдання 8 Добуток двох послідовних натуральних чисел на 209 більший за їх суму. Знайдіть суму цих чисел.

Нехай х – перше натуральне число, х + 1 – наступне натуральне число, x(x + 1) – добуток, х + х + 1 – сума. Маємо рівняння.

x(x + 1) – (x + x + 1) = 209

x² + x – x – x – 1 – 209 = 0

x² – x – 210 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

(для послідовних чисел можна знайти $\sqrt{209}$ ≈ 14,45 і перевірити, що 14 • 15 = 210)

x₁x₂ = —210

x₁ + x₂ = 1

Маємо корені:

x₁ = 15

x₂ = —14 (не є натуральним числом).

x = 15 – перше натуральне число.

x + 1 = 15 + 1 = 16 – друге натуральне число.

15 + 16 = 31 – сума чисел.

А 29      Б 31         В 33      Г 35

Завдання 9 Обчисліть.

${\left(\sqrt{7\text{–}4\sqrt{3}}\text{–}\sqrt{7+4\sqrt{3}}\right)}^2$ =

${\left(\sqrt{7\text{–}4\sqrt{3}}\right)}^2$ – $2\sqrt{7\text{–}4\sqrt{3}}\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ + ${\left(\sqrt{7\text{+}4\sqrt{3}}\right)}^2$ =

= 7 – 4$\sqrt{3}$ – 2$\sqrt{\left(7\text{–}4\sqrt{3}\right)(7+4\sqrt{3})}$ + 7 + 4$\sqrt{3}$ =

= 7 – 4$\sqrt{3}$ – 2$\sqrt{7^2\text{–}{\left(4\sqrt{3}\right)}^2}$ + 7 + 4$\sqrt{3}$ =

= 14 – 2 • $\sqrt{49\text{–}{4}^2{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$ =

= 14 – 2 • $\sqrt{49\text{–}16\text{•}3}$ =

= 14 – 2 • $\sqrt{49\text{–}48}$ =

= 14 – 2 • $\sqrt{1}$ = 14 – 2 = 12

А 12      Б 14       В 16       Г 18

Завдання 10 Відповідність між рівнянням та розв'язком.

Рівняння 1. ——> Г —2

5$\sqrt{2x+8}$ – 10 = 0       | :5

$\sqrt{2x+8}$ – 2 = 0

$\sqrt{2x+8}$ = 2

За означенням арифметичного кореня

2x + 8 = 2²

2x + 8 = 4

2x = 4 – 8

2x = —4

x = — $\frac{4}{2}$ = — 2

Відповідь: —2.

Рівняння 2. ——> В 2

x³ – 2x² + x – 2 = 0

x²(x – 2) + (x – 2) = 0

(x – 2) (x² + 1) = 0

x – 2 = 0 x = 2

або

x2 + 1 = 0 x2 = —1 не має коренів.

Відповідь: 2.

Рівняння 3. ——> Б —2; 2

(х² – 3)² – 2(х² – 3) + 1 = 0

t = x² – 3, тоді рівняння набуде вигляду

t² – 2t + 1 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = 1

t₁ + t₂ = 2

Маємо корені:

t₁ = 1

t₂ = 1

Повернемось до змінної х.

x² – 3 = 1

x² = 1 + 3

x² = 4

х = ±$\sqrt{4}$

х = ±2

Відповідь: —2; 2.