ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

КОНТРОЛЬНА РОБОТА ЗА 8 КЛАС

ВАРІАНТ 3

Завдання 1

$\frac{3a\text{–}5}{b}$ + $\frac{5}{b}$ = $\frac{3a\text{–}5+5}{b}$ = $\frac{3a}{b}$

А $\frac{3a}{b}$          Б $\frac{3a}{2b}$

B $\frac{3a+10}{b}$    Г $\frac{3a\text{–}10}{b}$

Завдання 2 Подайте вираз b¹⁴ : b^–2 у вигляді степеня з основою b.

b¹⁴ : b^–2 = b^{14 – (–2)} = b¹⁴⁺² = b¹⁶

А b^—28   Б b^—7     В b¹²     Г b¹⁶

Завдання 3 Для функції $\text{у}=\sqrt{x}$ знайдіть значення у, яке відповідає значенню x = 25.

Графік функції – вітка параболи у І чверті, тому у ≥ 0.

y(25) = $\sqrt{25}$ = 5

А —5    Б 5      В —5 або 5      Г 625

Завдання 4 Знайдіть значення виразу.

1) $\sqrt{6\frac{1}{4}}$ +10$\sqrt{0\text{,}81}$ = $\sqrt{\frac{6\text{•}4+1}{4}}$ + 10 • 0,9 = $\sqrt{\frac{25}{4}}$ + 9 = $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ + 9 = $\frac{5}{2}$+ 9 = 2,5 + 9 = 11,5

2) $\sqrt{10}$ • $\sqrt{0\text{,}1}$ + (—$\sqrt{5}$)² = $\sqrt{10\text{•}0\text{,}1}$ + (—1)²($\sqrt{5}$)² = $\sqrt{1}$+ 5 = 1 + 5 = 6

Завдання 5 Спростіть вираз.

—$\frac{4}{7}$a^—4b⁷ • $1\frac{5}{16}$ a^—3b^—2 = — $\frac{4}{7}$ • $\frac{1\text{•}16+5}{16}$ • a^—4+(—3)b^7+(—2) =

= — $\frac{4}{7}$• $\frac{21}{16}$• a^—7b⁵ = — $\frac{3}{4}$• a^—7b⁵ = —0,75 a^—7b⁵

Завдання 6 Розв'яжіть рівняння.

1) 2х² – 3х – 14 = 0

D= (—3)² – 4 • 2 • (—14) = 9 + 112 = 121 = 11²

x1 = $\frac{3+11}{2\text{•}2}$= $\frac{14}{4}$ = 3,5

x2 = $\frac{3\text{–}11}{2\text{•}2}$ = —$\frac{8}{4}$= —2

Відповідь: 3,5; —2.

2) $\frac{x^2}{x\text{–}1}$ = $\frac{4x\text{–}3}{x\text{–}1}$

ОВР (область визначення рівняння): х – 1 ≠ 0, тому x ≠ 1.

$\frac{x^2}{x\text{–}1}$ – $\frac{4x\text{–}3}{x\text{–}1}$ = 0

$\frac{x^2\text{–}\left(4x\text{–}3\right)}{x\text{–}1}$ = 0

$\frac{x^2\text{–}4x+3}{x\text{–}1}$ = 0

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

x² – 4x + 3 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x₁x₂ = 3

x₁ + x₂ = 4

Маємо корені:

x₁ = 1

x₂ = 3

Враховуючи умову x ≠ 1, маємо один корінь.

Відповідь: 3.

Завдання 7 Спростіть вираз.

2) $\frac{4x}{x\text{–}4}$ – $\frac{x+4}{2x\text{–}8}$• $\frac{128}{x^2+4x}$ =

= $\frac{4x}{x\text{–}4}$ – $\frac{x+4}{2\left(x\text{–}4\right)}$ • $\frac{128}{x(x+4)}$=

= $\frac{4x}{x\text{–}4}$ – $\frac{64}{x\left(x\text{–}4\right)}$=

= $\frac{4x\text{•}x}{x\left(x\text{–}4\right)}$ – $\frac{64}{x\left(x\text{–}4\right)}$ =

= $\frac{4x^2\text{–}64}{x\left(x\text{–}4\right)}$= $\frac{4\left(x\text{–}16\right)}{x\left(x^2\text{–}4\right)}$ =

= $\frac{4\left(x^2\text{–}{4}^2\right)}{x\left(x\text{–}4\right)}$= $\frac{4\left(x\text{–}4\right)(x+4)}{x\left(x\text{–}4\right)}$=

= $\frac{4(x+4)}{x}$

Завдання 8 Моторний човен витратив 5 год, щоб подолати 36 км проти течії річки і повернутися назад. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год.

Нехай x (км/год) – власна швидкість катера, х – 3 (км/год) – швидкість катера за течією, $\frac{36}{x\text{–}3}$ (год) – час за течією, х + 3 (км/год) – швидкість катера проти течії, $\frac{36}{x+3}$ (км/год) – час проти течії річки. Маємо рівняння.

$\frac{36}{x\text{–}3}$ + $\frac{36}{x\text{+}3}$= 5

ОВР (область визначення рівняння):

{	х + 3 ≠ 0, звідси х ≠ —3 х – 3 ≠ 0, звідси х ≠ 3

$\frac{36}{x\text{–}3}$ + $\frac{36}{x\text{+}3}$ – 5 = 0

$\frac{36(x+3)}{\left(x\text{–}3\right)(x+3)}$+ $\frac{36\left(x\text{–}3\right)}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ – $\frac{5(x+3)\left(x\text{–}3\right)}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ = 0

$\frac{36(x+3)+36\left(x\text{–}3\right)\text{–}5(x+3)\left(x\text{–}3\right)}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ = 0

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

36x + 108 + 36x – 108 – 5(x² – 9) = 0

72x – 5x² + 45 = 0         |• (—1)

—72x + 5x² – 45 = 0

5x² – 72x – 45 = 0

D= (—72)² – 4 • 5 • (—45) = 5184 + 900 = 6084 = 78²

x₁ = $\frac{72+78}{2\text{•}5}$= $\frac{150}{10}$= 15

x₂ = $\frac{72\text{–}78}{2\text{•}5}$= —$\frac{6}{10}$ (не підходить для швидкості).

Відповідь: 15 км/год.

Завдання 9 Побудуйте графік функції $y=\frac{12\text{–}6x}{x^2\text{–}2x}$

$y=\frac{12\text{–}6x}{x\left(x\text{–}2\right)}$

Область визначення функції:

{	x ≠ 0 2 – x ≠ 0, звідси x ≠ 2

Спростимо вираз.

y = $\frac{6\left(2\text{–}x\right)}{x\left(x\text{–}2\right)}$ = —$\frac{6\left(x\text{–}2\right)}{x\left(x\text{–}2\right)}$= — $\frac{6}{x}$ = —6 • $\frac{1}{x}$

Графіком функції є гіпербола, розміщена у ІІ і ІV чверті.

Оскільки для х ≠ 2 маємо y(2) = —6 • $\frac{1}{2}$= —3, то точка (2, —3) не належить графіку.

Задамо точки для побудови графіка функції.

x	1	2	3	—1	—2	—3
y	—6	—3	—2	6	3	2