ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА №6 [11М]

Квадратний тричлен. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних, та задач за допомогою рівнянь

ВАРІАНТ 1

Завдання 1 Укажіть вираз, що є квадратним тричленом.

Квадратний тричлен – це многочлен виду ax² + bx + a

A 4х² + х – 2х³      Б 4х² + х – 2

B $\frac{x}{4x^2+x\text{–}2}$          Г $\frac{4}{x^2+x\text{–}2}$

Завдання 2 Обчисліть дискримінант квадратного тричлена Зх² – 2х – 6.

D = (—2) ² – 4 • 3 • (—6) = 4 + 72 = 76

А —68    Б 22   В 78     Г 76

Завдання 3 Укажіть рівняння, що є біквадратним.

Біквадратне рівняння — рівняння виду ax⁴ + bx² + c = 0, де ≠ 0.

A 8х⁴ + Зх³ + х² – 5 = 0      Б 8х² + х – 9 = 0

B 8х⁴ + х² – 9 = 0              Г 8х³ + х2 – 9 = 0

Завдання 4

1) Розкладіть квадратний тричлен х² + 2х – 3 на множники.

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x² + 2x – 3 = 0

х₁х₂ = —3

х₁ + х₂ = —2

Маємо корені:

х₁ = 1

х₂ = —3

х² + 2х – 3 = (x – 1)(x + 3)

2) Розкладіть квадратний тричлен —2х² + Зх + 2 на множники.

Знайдемо корені рівняння.

D = 3² – 4 • (—2) • 2 = 9 + 16 = 25 = 5² 

x₁ = $\frac{\text{—}3+5}{2\text{•}\left(\text{—}2\right)}$ = —$\frac{2}{4}$ = —0,5

x₂ = $\frac{\text{—}3\text{–}5}{2\text{•}\left(\text{—}2\right)}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

—2х² + Зх + 2 = —2(x + 0,5)(x – 2)

Завдання 5 Знайдіть корені рівняння.

1) х⁴ – 2х² – 8 = 0

t = x², тоді рівняння набуде вигляду
t² – 2t – 8 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = —8

t₁ + t₂ = 2

Маємо корені:

t₁ = 4

t₂ = —2

Повернемось до змінної х. 

x² = 4, х = ±$\sqrt{4}$ , x = ±2,  х₁ = 2, х₂ = —2.

x² = —2, рівняння коренів не має.

Відповідь: —2; 2.

2) ) $\frac{x^2}{\text{х –}5}=\frac{25}{\text{х –}5}$ 

ОВР (область визначення рівняння): х – 5 ≠ 0, тому х ≠ 5.

$\frac{x^2}{\text{х –}5}–\frac{25}{\text{х –}5}=0$

$\frac{\left(\text{х –}5\right)(\text{х}+5)}{\text{х –}5}=0$

х + 5 = 0

х = —5

Відповідь: —5.

Завдання 6 Розв'яжіть рівняння, розклавши його ліву части­ну на множники.

x³ – 4х² – 5х = 0

x(x² – 4x – 5) = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x² – 4x – 5 = 0

x₁x₂ = —5

x₁ + x₂ = 4

Маємо корені:

x₁ = 5

x₂ = —1

Початкове рівняння набуде вигляду:

x(x – 5)(x + 1) = 0

{	х = 0 х – 5 = 0 х + 1 = 0
{	х = 0 х = 5 х = —1

Відповідь: —1; 0; 5.

Завдання 7

1) Скоротіть дріб $\frac{x^2\text{– х –}6}{x^2\text{–}3\text{х}}$.  

У знаменнику винесемо за дужки спільний множник.

У чисельнику зведене квадратне рівняння розкладемо на множники.

За теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння х² – х – 6 = 0 знайдемо корені.

x₁x2 = —6

x₁ + x₂ = 1

Маємо корені:

x₁ = 3

x₂ = —2

$\frac{x^2\text{– х –}6}{x^2\text{–}3\text{х}}$ = $\frac{\left(x\text{–}3\right)(x+2)}{x\left(x\text{–}3\right)}$ = $\frac{x+2}{x}$

2) Скоротіть дріб $\frac{x^2\text{–}4}{\text{З}{x}^2+2\text{х –}8}$.

У чисельнику застосуємо формулу різниці квадратів.

У знаменнику квадратне рівняння розкладемо на множники.

3х² + 2х – 8 = 0

D= 2² – 4 • 3 • (—8) = 4 + 96 = 100 = 10² 

x1 = $\frac{\text{—}2+10}{2\text{•}3}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ 
x2 =$\frac{\text{—}2\text{–}10}{2\text{•}3}$ = —$\frac{12}{6}$ = —2

3х² + 2х – 8 = 3(x – $\frac{4}{3}$)(x + 2) = (3x – 4)(x + 2)

$\frac{x^2\text{–}4}{\text{З}{x}^2+2\text{х –}8}$ = $\frac{x^2\text{–}{2}^2}{\left(3\text{х–}4\right)(\text{х}+2)}$=

=$\frac{\left(\text{х–}2\right)(\text{х}+2)}{\left(3\text{х–}4\right)(\text{х}+2)}$= $\frac{x\text{–}2}{3x\text{–}4}$

Завдання 8 З одного міста в інше, відстань між якими 120 км, виїхали одночас­но два товарних потяги. Швидкість одного з них була на 10 км/год більшою за швидкість іншого. Тому він прибув у пункт призначен­ня на 1 год раніше (витратив менше часу). Знайдіть швидкість кожного потяга.

Нехай х (км/год) – швидкість другого потяга, $\frac{120}{x}$ (год) – час другого потяга, х + 10 (км/год) – швидкість першого потяга, $\frac{120}{\text{х}+10}$ (год) – час першого потяга. Маємо рівняння.

$\frac{120}{x}$ – $\frac{120}{\text{х}+10}$ = 1

ОВР (область визначення рівняння):

{

х ≠ 0 х + 10 ≠ 0

{

х ≠ 0 х ≠ —10

$\frac{120(\text{х}+10)}{\text{х}(\text{х}+10)}$ – $\frac{120\text{х}}{(\text{х}+10)\text{х}}$– $\frac{\text{х}(\text{х}+10)}{\text{х}(\text{х}+10)}$ = 0

$\frac{120(\text{х}+10)\text{–}120\text{х – х}(\text{х}+10)}{\text{х}(\text{х}+10)}$ = 0

$\frac{120\text{х}+1200\text{–}120\text{х –}{x}^2\text{–}10\text{х}}{\text{х}(\text{х}+10)}$ = 0

—х² – 10х + 1200 = 0      |•(—1)

х² + 10х – 1200 = 0

За теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння знайдемо корені.

x₁x₂ = —1200

x₁ + x₂ = —10

Маємо корені:

x₁ = 30

x₂ = —40 (не підходить для швидкості )

x = 30 (км/год) – швидкість другого потяга.

x + 10 = 30 + 10 = 40 (км/год) – швидкість першого потяга.

Відповідь: 40 км/год, 30 км/год.

Завдання 9 Розв'яжіть рівняння.

1) х + 3$\sqrt{x}$ – 18 = 0

t = $\sqrt{x}$, тоді рівняння набуде вигляду

t² + 3t – 18 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = —18

t₁ + t₂ = —3

Маємо корені:

t₁ = 3

t₂ = —6

Повернемось до змінної х. 

$\sqrt{x}$ = 3, за означенням x = 3² = 9
$\sqrt{x}$ = —6, для графіка функції y = $\sqrt{x}$, область значень y ≥ 0. Область значень не може бути від’ємним числом, тому рівняння не має коренів. 
Відповідь: 9.

2) (х +1)⁴ – 2(х + 1)² – 3 = 0.

t = (x + 1)², тоді рівняння набуде вигляду

t² – 2 – 3 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = —3

t₁ + t₂ = 2

Маємо корені:

t₁ = 3

t₂ = —1

Повернемось до змінної х. 

(x + 1)² = 3

(x + 1)² = —1, рівняння не має коренів. 

Знайдемо корені рівняння:

(x + 1)² – 3 = 0

(x + 1)² – ($\sqrt{3}$)² = 0

(х + 1 – $\sqrt{3}$)(х + 1 + $\sqrt{3}$) = 0

х + 1 – $\sqrt{3}$ = 0 х = — 1 + $\sqrt{3}$

або

х + 1 + $\sqrt{3}$ = 0 х = —1 – $\sqrt{3}$

Відповідь: —1 – $\sqrt{3}$; —1 + $\sqrt{3}$.