ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА №6 [11М]

Квадратний тричлен. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних, та задач за допомогою рівнянь

ВАРІАНТ 2

Завдання 1 Укажіть вираз, що є квадратним тричленом?

Квадратний тричлен – це многочлен виду ax² + bx + c, де a ≠ 0.

A 7х² – х – 3       Б $\frac{7}{x^2–x\text{–}3}$
B 7х² – х – Зх³    Г $\frac{1}{7x^2–x\text{–}3}$
 

Завдання 2 Знайдіть дискримінант квадратного тричлена 4х² + Зх – 7.

D = 3 ² – 4 • 4 • (—7) = 9 + 112 = 121

А —103   Б 121   В 37    Г 119

Завдання 3 Укажіть рівняння, що є біквадратним?

Біквадратне рівняння — рівняння виду ax⁴ + bx² + c = 0, де a ≠ 0.

A 7х³ + х – 3 = 0        Б 7х² + х – 3 = 0

B 7х³ + х² – 3 = 0       Г 7х⁴ + х² – 3 = 0

Завдання 4

1) Розкладіть квадратний тричлен х² – 2х – 3 на множники.

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x² – 2 – 3 = 0

х₁х₂ = —3

х₁ + х₂ = 2

Маємо корені:

х₁ = 3

х₂ = —1

х² – 2х – 3 = (x – 3)(x + 1)

2) Розкладіть квадратний тричлен —2х² – Зх + 2 на множники.

Знайдемо корені рівняння.

D = (—3)² – 4 • (—2) • 2 = 9 + 16 = 25 = 5²

x₁ = $\frac{3+5}{2\text{•}\left(\text{—}2\right)}$= — $\frac{8}{4}$ = —2
x₂ = $\frac{3\text{–}5}{2\text{•}\left(\text{—}2\right)}$= $\frac{\text{—}2}{\text{—}4}$ = 0,5
—2х² – Зх + 2 = —2(x + 2)(x – 0,5) = (х + 2)( —2х + 1) = (х + 2)(1 – 2х)

Завдання 5 Знайдіть корені рівняння.

1) х⁴ – 3х² – 4 = 0
t = x², тоді рівняння набуде вигляду
t² – 3t – 4 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = —4

t₁ + t₂ = 3

Маємо корені:

t₁ = 4

t₂ = —3

Повернемось до змінної х. 

x² = 4, х = ±$\sqrt{4}$= ±2, х₁ = 2, х₂ = —2.

x²= —1, рівняння коренів не має.

Відповідь: —2; 2.

2) $\frac{x^2}{\text{х}+4}$= $\frac{16}{x+4}$
ОВР (область визначення рівняння): х + 4 ≠ 0, тому х ≠ —4.
$\frac{x^2}{\text{х}+4}$ – $\frac{16}{x+4}$ = 0
$\frac{x^2\text{–}16}{x+4}=0$ 
$\frac{\left(\text{х–}4\right)(\text{х}+4)}{\text{х}+4}=0$
х – 4 = 0
х = 4
Відповідь: 4.

Завдання 6 Розв'яжіть рівняння, розклавши його ліву части­ну на множники.

x³ – 5х² – 6х = 0

x(x² – 5x – 6) = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x² – 5x – 6 = 0

x₁x₂ = —6

x₁ + x₂ = 5

Маємо корені:

x₁ = 6

x₂ = —1

Зведене квадратне рівняння розкладемо на множники:

x(x – 6)(x + 1) = 0

{	х = 0 х – 6 = 0 х + 1 = 0
{	х = 0 х = 6 х = —1

Відповідь: —1; 0; 6.

Завдання 7

2) Скоротіть дріб $\frac{x^2\text{–}4x}{x^2\text{– х –}12}$.

У чисельнику винесемо за дужки спільний множник.

У знаменнику зведене квадратне рівняння х² – х – 12 = 0 розкладемо на множники.

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

x₁x₂ = —12

x₁ + x₂ = 1

Маємо корені:

x₁ = 4

x₂ = —3

$\frac{x^2\text{–}4x}{x^2\text{– х –}12}$ = $\frac{x\left(x\text{–}4\right)}{\left(x\text{–}4\right)(x+3)}$ = $\frac{x}{x+3}$

2) Скоротіть дріб $\frac{2x^2\text{–}11\text{х}+15}{x^2\text{–}9}$. 
У знаменнику застосуємо формулу різниці квадратів.
У чисельнику квадратне рівняння 2х² – 11х +15 розкладемо на множники.
D = (—11)² – 4 • 2 • 15 = 121 – 120 = 1 = 1² 
x₁ = $\frac{11+1}{2\text{•}2}$ = $\frac{12}{4}$ = 3 
x₂ = $\frac{11\text{–}1}{2\text{•}2}$ = $\frac{10}{4}$ = 2,5
$\frac{2x^2\text{–}11\text{х}+15}{x^2\text{–}9}$= $\frac{2\left(x\text{–}3\right)\left(x\text{–}2\text{,}5\right)}{\left(x\text{–}3\right)(x+3)}$ =
= $\frac{2\left(x\text{–}2\text{,}5\right)}{x+3}$ = $\frac{2\text{х–}5}{\text{х}+3}$

Завдання 8 З одного міста в інше, відстань між якими 144 км, виїхали одно­часно два велосипедисти. Швидкість одного з них на 2 км/год біль­ша за швидкість іншого. Тому він прибув у пункт призначення на 1 год раніше (витратив менше годин). Знайдіть швидкість кожного велосипедиста.

Нехай х (км/год) – швидкість другого велосипедиста, $\frac{144}{x}$ (год) – час другого, х+2 (км/год) – швидкість першого, $\frac{144}{x+2}$ (год) – час першого потяга. Маємо рівняння.

$\frac{144}{x}\text{–}\frac{144}{x+2}=1$

ОВР (область визначення рівняння):

{

х ≠ 0 х + 2 ≠ 0

{

х ≠ 0 х ≠ —2

$\frac{144(\text{х}+2)}{\text{х}(\text{х}+2)}$ – $\frac{144\text{х}}{(\text{х}+2)\text{х}}$ – $\frac{\text{х}(\text{х}+2)}{\text{х}(\text{х}+2)}$ = 0

$\frac{144(\text{х}+2)\text{–}144\text{х – х}(\text{х}+2)}{\text{х}(\text{х}+2)}=0$

$\frac{144\text{х}+288\text{–}144\text{х –}{x}^2\text{–}2\text{х}}{\text{х}(\text{х}+2)}=0$ 

—х² – 2х + 288 = 0      |• (—1)

х² + 2х – 288 = 0

D = 2² – 4 • 1 • 288 = 4 + 1152 = 1154 = 34² 

x₁ = $\frac{\text{—}2+34}{2\text{•}1}$ = $\frac{32}{2}$ = 16
x₂ = $\frac{\text{—}2\text{–}34}{2\text{•}1}$ =—$\frac{36}{2}$ (не підходить для швидкості)

x = 16 (км/год) – швидкість другого велосипедиста.

x + 2 = 16 + 2 = 18 (км/год) – швидкість першого велосипедиста.

Відповідь: 18 км/год, 16 км/год.

Завдання 9 Розв'яжіть рівняння.

1) х + 2$\sqrt{x}$ – 8 = 0

t = $\sqrt{x}$, тоді рівняння набуде вигляду

t² + 2t – 8 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = —8

t₁ + t₂ = —2

Маємо корені:

t₁ = 4

t₂ = —8

Повернемось до змінної х. 

$\sqrt{x}$ = 2, за означенням x = 2² = 4
$\sqrt{x}$ = —4, для графіка функції y = $\sqrt{x}$, область значень y ≥ 0. Область значень не може бути від’ємним числом, тому рівняння не має коренів. 
Відповідь: 4.

2) (х – 2)⁴ – 4(х – 2)² – 5 = 0.

t = (x – 2)², тоді рівняння набуде вигляду

t² – 4t – 5 = 0

За теоремою Вієта знайдемо корені зведеного квадратного рівняння.

t₁t₂ = —5

t₁ + t₂ = 4

Маємо корені:

t₁ = 5

t₂ = —4

Повернемось до змінної х. 

(x –2)² = 5

(x – 2)² = —1, рівняння не має коренів.

Знайдемо корені рівняння:

(x –2)² = 5

(x – 2)² – ($\sqrt{5}$) ² = 0

(х – 2 – $\sqrt{5}$)(x – 2 + $\sqrt{5}$) = 0 

х – 2 – $\sqrt{5}$ = 0 х = 2 + $\sqrt{5}$

або

х – 2 + $\sqrt{5}$ = 0 х = 2 – $\sqrt{5}$

Відповідь: 2 – $\sqrt{5}$; 2 + $\sqrt{5}$.