ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

САМОСТІЙНА РОБОТА № 11 [21М]
Квадратний тричлен. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних, та задач за допомогою рівнянь
ВАРІАНТ 4

Завдання 1 Укажіть число, що є коренем квадратного тричлена х² – 2х – 24.

Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, для якого значення тричлена дорівнює нулю.

(—4)² – 2 • (—4) – 24 = 16 + 8 – 24 = 0

A —4      Б 4

B —1       Г 1

Завдання 2 Розв'яжіть рівняння:

1) $\frac{{\text{х}}^2\text{– х –}20}{\text{х –}5}=0$

Знайдемо область визначання рівняння: знаменник дробу не дорівнює нулю.

ОВР: х – 5 ≠ 0, звідси х ≠ 5.

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

х² – х – 20 = 0

За теоремою Вієта

х₁х₂ = —20

х₁ + х₂ = 1

Маємо корені:

х₁ = —4

х₂ = 5

Врахуємо умову х≠5.

Відповідь: —4.

2) 4х – х³ = 0

х(4 – х²) = 0

х = 0 або

4 – х2 = 0 х2 = 4 х = ±√2 х1 = 2 х2 = —2

Відповідь: —2; 0; 2.

Завдання 3 Катер, власна швидкість якого 17 км/год, проплив 19 км за те­чією і 45 км проти течії, витративши на весь шлях 4 год. Знайдіть швидкість течії.

Нехай х(км/год) – швидкість течії, 17 + х (км/год) – швидкість за течією, $\frac{19}{17+\text{х}}$ (год) – час за течією, 17 – х (км/год) – швидкість проти течії, $\frac{45}{17\text{– х}}$ (год) – час проти течії. Маємо рівняння.

$\frac{19}{17+\text{х}}+\frac{45}{17\text{– х}}=4$

ОВР: х ≠ 17, х ≠ —17.

$\frac{19\left(17\text{– х}\right)}{(17+\text{х})\left(17\text{– х}\right)}$ + $\frac{45(17+\text{х})}{\left(17\text{– х}\right)(17+\text{х})}$ = $\frac{4(17+\text{х})\left(17\text{– х}\right)}{(17+\text{х})\left(17\text{– х}\right)}$

$\frac{323\text{–}19\text{х}}{(17+\text{х})\left(17\text{– х}\right)}$ + $\frac{765+45\text{х}}{\left(17\text{– х}\right)(17+\text{х})}$ – $\frac{4\left({17}^2\text{–}{\text{х}}^2\right)}{(17+\text{х})\left(17\text{– х}\right)}$ = 0

$\frac{323\text{–}19\text{х}+765+45\text{х –}4\left(289\text{–}{\text{х}}^2\right)}{(17+\text{х})\left(17\text{– х}\right)}=0$

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

323 – 19х + 765 + 45х – 4(289 – х²) = 0

1088 + 26х – 1156 + 4х² = 0

4+ 26x – 68 = 0           | :2

2+ 13x – 34 = 0

D = 13 ² – 4 • 2 • (—34) = 169 + 272 = 441

x₁ = $\frac{\text{—}13+\sqrt{441}}{2\text{•}2}$ = $\frac{\text{—}13+21}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

x₂ = $\frac{\text{—}13\text{–}\sqrt{x}441}{2\text{•}2}$ = $\frac{\text{—}13\text{–}21}{4}$ = —$\frac{44}{4}$ = —11 (не підходить для швидкості течії)

Відповідь: 2 км/год.  

Завдання 4 Розкладіть многочлен х³ + 6х² – 7х на множники.

х³ + 6х² – 7х = х(х² + 6х – 7)

Для зведеного квадратного рівняння х² + 6х – 7 = 0 за теоремою Вієта

х₁х₂ = —7

х₁ + х₂ = —6

Маємо корені:

х₁ = 1

х₂ = —7

Розкладемо квадратний тричлен на множники.

х² + 6х – 7 = (х – 1)(х + 7)

Відповідь: х³ + 6х² – 7х = х(х – 1)(х + 7)