ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

САМОСТІЙНА РОБОТА № 11 [21М]
Квадратний тричлен. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних, та задач за допомогою рівнянь
ВАРІАНТ 3

Завдання 1 Укажіть число, що є коренем квадратного тричлена х² – Зх – 10.

Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, для якого значення тричлена дорівнює нулю.

2² – 3 • 2 – 10 = 4 – 6 – 10 ≠ 0

(—1)² – 3 • (—1) – 10 = 1 + 3 – 10 ≠ 0

1² – 3 • 1 – 10 = 1 – 1 – 10 ≠ 0

(—2)² – 3 • (—2) – 10 = 4 + 6 – 10 = 0

A 2      Б —1

B 1      Г —2

Завдання 2 Розв'яжіть рівняння:

1) $\frac{{\text{х}}^2+\text{х –}20}{\text{х –}4}=0$

Знайдемо область визначання рівняння: знаменник дробу не дорівнює нулю.

ОВР: х – 4 ≠ 0, звідси х ≠ 4.

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

х² + х – 20 = 0

За теоремою Вієта

х₁х₂ = —20

х₁ + х₂ = —1

Маємо корені:

х₁ = —5

х₂ = 4

Врахуємо умову х≠4.

Відповідь: —5.

2) 9х – х³ = 0

х(9 – х²) = 0

х = 0 або

9 – х2 = 0 х2 = 9 х = ±√9 х1 = 3 х2 = —3

Відповідь: —3; 0; 3.

Завдання 3 Човен, власна швидкість якого 16 км/год, проплив 19 км за те­чією і 39 км проти течії, витративши на весь шлях 4 год. Знайдіть швидкість течії.

Нехай х(км/год) – швидкість течії, 16 + х (км/год) – швидкість за течією, $\frac{19}{16+\text{х}}$ (год) – час за течією, 16 – х (км/год) – швидкість проти течії, $\frac{39}{16\text{– х}}$ (год) – час проти течії. Маємо рівняння.

$\frac{19}{16+\text{х}}+\frac{39}{16\text{– х}}=4$

ОВР: х ≠ 16, х ≠ —16.

$\frac{19\left(16\text{– х}\right)}{(16+\text{х})\left(16\text{– х}\right)}$+ $\frac{39(16+\text{х})}{\left(16\text{– х}\right)(16+\text{х})}$ = $\frac{4(16+\text{х})\left(16\text{– х}\right)}{(16+\text{х})\left(16\text{– х}\right)}$

$\frac{304\text{–}19\text{х}}{(16+\text{х})\left(16\text{– х}\right)}$ + $\frac{624+39\text{х}}{\left(16\text{– х}\right)(16+\text{х})}$ – $\frac{4\left({16}^2\text{–}{\text{х}}^2\right)}{(16+\text{х})\left(16\text{– х}\right)}$ = 0

$\frac{304\text{–}19\text{х}+624+39\text{х –}4\left(256\text{–}{\text{х}}^2\right)}{(16+\text{х})\left(16\text{– х}\right)}=0$

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

304 – 19х + 624 + 39х – 4(256 – х²) = 0

928 + 20х – 1024 + 4х² = 0

4+ 20x – 96 = 0           | :4

x² + 5 – 24 = 0

За теоремою Вієта

х₁х₂ = —24

х₁ + х₂ = —5

Маємо корені:

х₁ = —8 (не підходить для швидкості течії)

х₂ = 3 

Відповідь: 3 км/год.

Завдання 4 Розкладіть многочлен х³ – 6х² – 7х на множники.

х³ – 6х² – 7х = х(х² – 6х – 7)

Для зведеного квадратного рівняння х² – 6х – 7 = 0 за теоремою Вієта

х₁х₂ = —7

х₁ + х₂ = 6

Маємо корені:

х₁ = 7

х₂ = —1

Розкладемо квадратний тричлен на множники.

х² – 6х – 7 = (х – 7)(х + 1)

Відповідь: х³ – 6х² – 7х = х(х – 7)(х + 1)