ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

САМОСТІЙНА РОБОТА № 11 [21М]
Квадратний тричлен. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних, та задач за допомогою рівнянь
ВАРІАНТ 2

Завдання 1 Укажіть число, що є коренем квадратного тричлена х² – 2х – 15.

Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, для якого значення тричлена дорівнює нулю.

1² – 2 • 1 – 15 = 1 – 2 – 15 ≠ 0

(—3)² – 2 • (—3) – 15 = 9 + 6 – 15 = 0

A        1 Б —З

B З      Г —1

Завдання 2 Розв'яжіть рівняння:

1)  $\frac{{\text{х}}^2\text{– х –}12}{\text{х –}4}=0$

Знайдемо область визначання рівняння: знаменник дробу не дорівнює нулю.

ОВР: х – 4 ≠ 0, звідси х ≠ 4

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

х² – х – 12 = 0

За теоремою Вієта

х₁х₂ = —12

х₁ + х₂ = 1

Маємо корені:

х₁ = 4

х₂ = —3

Врахуємо умову х≠4.

Відповідь: —3.

2) х³ – 16х = 0

х(х² – 16) = 0

х = 0 або

х2 – 16 = 0 х2 = 16 х = ±$\sqrt{16}$ х1 = 4 х2 = —4

Відповідь: —4; 0; 4.

 

Завдання 3 Катер, власна швидкість якого 15 км/год, проплив 18 км за те­чією і 24 км проти течії, витративши на весь шлях 3 год. Знайдіть швидкість течії.

Нехай х(км/год) – швидкість течії, 15 + х (км/год) – швидкість за течією, $\frac{18}{15+\text{х}}$ (год) – час за течією, 15 – х (км/год) – швидкість проти течії, $\frac{24}{15\text{–х}}$ (год) – час проти течії. Маємо рівняння.

$\frac{18}{15+\text{х}}+\frac{24}{15\text{–х}}=3$

ОВР: х ≠ 15, х ≠ —15.

$\frac{18\left(15\text{–х}\right)}{(15+\text{х})\left(15\text{–х}\right)}$ + $\frac{24(15+\text{х})}{\left(15\text{– х}\right)(15+\text{х})}$ = $\frac{3(15+\text{х})\left(15\text{– х}\right)}{(15+\text{х})\left(15\text{– х}\right)}$

$\frac{270\text{–}18\text{х}}{(15+\text{х})\left(15\text{– х}\right)}$ +$\frac{360+24\text{х}}{\left(15\text{– х}\right)(15+\text{х})}$ – $\frac{3\left({15}^2\text{–}{\text{х}}^2\right)}{(15+\text{х})\left(15\text{– х}\right)}$ = 0

$\frac{270\text{–}18\text{х}+360+24\text{х –}3\left(225\text{–}{\text{х}}^2\right)}{(15+\text{х})\left(15\text{– х}\right)}=0$

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

270 – 18х + 360 + 24х – 3(225 – х²) = 0

630 + 6х – 675 + 3х² = 0

3+ 6x – 45 = 0        | :3

x² + 2 – 15 = 0

За теоремою Вієта

х₁х₂ = —15

х₁ + х₂ = —2

Маємо корені:

х₁ = —5 (не підходить для швидкості течії)

х₂ = 3

Відповідь: 3 км/год.

Завдання 4 Розкладіть многочлен х³ + 5х² – 6х на множники.

х³ + 5х² – 6х = х(х² + 5х – 6)

Для зведеного квадратного рівняння х² + 5х – 6 = 0 за теоремою Вієта

х₁х₂ = —6

х₁ + х₂ = —5

Маємо корені:

х₁ = 1

х₂ = —6

Розкладемо квадратний тричлен на множники.

х² + 5х – 6 = (х – 1)(х + 6)

Відповідь: х³ + 5х² – 6х = х(х – 1)(х + 6)