ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

САМОСТІЙНА РОБОТА № 11 [21М]
Квадратний тричлен. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних, та задач за допомогою рівнянь
ВАРІАНТ 1

Завдання 1 Укажіть число, що є коренем квадратного тричлена х² – 2х – 8.

Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, для якого значення тричлена дорівнює нулю.

(—1)² – 2 • (—1) – 8 = 1 + 2 – 8 ≠ 0

2² – 2 • 2 – 8 = 4 – 4 – 8 ≠ 0

(—2)² – 2 • (—2) – 8 = 4 + 4 – 8 = 0

A —1    Б 2

B —2    Г 1

Завдання 2 Розв'яжіть рівняння:

1)  $\frac{{\text{х}}^2+\text{х –}12}{\text{х–}3}$ = 0

Знайдемо область визначання рівняння: знаменник дробу не дорівнює нулю.

ОВР: х – 3 ≠ 0, звідси х ≠ 3.

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю. 

х² + х – 12 = 0

За теоремою Вієта

х₁х₂ = —12

х₁ + х₂ = —1

Маємо корені:

х₁ = 3

х₂ = —4

Врахуємо умову х≠3.

Відповідь: —4.

2) х³ – 81х = 0

х(х² – 81) = 0

х = 0 або

х2 – 81 = 0 х2 = 81 х = ±$\sqrt{81}$ х1 = 9 х2 = —9

Відповідь: —9; 0; 9.

Завдання 3 Човен, власна швидкість якого 18 км/год, проплив 20 км за течією і 32 км проти течії, витративши на весь шлях 3 год. Знайдіть швидкість течії.

Нехай х(км/год) – швидкість течії, 18 + х (км/год) – швидкість за течією, 20/18+х (год) – час за течією, 18 – х (км/год) – швидкість проти течії, 32/18–х (год) – час проти течії. Маємо рівняння. 

$\frac{20}{18+\text{х}}+\frac{32}{18\text{–х}}=3$

ОВР: х ≠ 18, х ≠ —18.

$\frac{20\left(18\text{–х}\right)}{(18+\text{х})\left(18\text{–х}\right)}$ + $\frac{32(18+\text{х})}{\left(18\text{–х}\right)(18+\text{х})}$ = $\frac{3(18+\text{х})\left(18\text{–х}\right)}{(18+\text{х})\left(18\text{–х}\right)}$

$\frac{360\text{–}20\text{х}}{(18+\text{х})\left(18\text{–х}\right)}$ + $\frac{576+32\text{х}}{\left(18\text{–х}\right)(18+\text{х})}$– $\frac{3\left({18}^2\text{–}{\text{х}}^2\right)}{(18+\text{х})\left(18\text{–х}\right)}$ = 0

$\frac{360\text{–}20\text{х}+576+32\text{х–}3\left(324\text{–}{\text{х}}^2\right)}{(18+\text{х})\left(18\text{–х}\right)}$ = 0

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю.

360 – 20х + 576 + 32х – 3(324 – х²) = 0

360 – 20х + 576 + 32х – 972 + 3х² = 0

3 + 12x – 36 = 0           | :3

x² + 4 – 12 = 0

За теоремою Вієта

х₁х₂ = —12

х₁ + х₂ = —4

Маємо корені:

х₁ = —6 (не підходить для швидкості течії)

х₂ = 2

Відповідь: 2 км/год.

Завдання 4 Розкладіть многочлен х³ – 5х² – 6х на множники.

х³ – 5х² – 6х = х(х² – 5х – 6)

Для зведеного квадратного рівняння х² – 5х – 6 = 0 за теоремою Вієта 

х₁х₂ = —6

х₁ + х₂ = 5

Маємо корені:

х₁ = —1

х₂ = 6

Розкладемо квадратний тричлен на множники.

х² – 5х – 6 = (х – 6)(х + 1)

Відповідь: х³ – 5х² – 6х = х(х – 6)(х + 1)