ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА № 5 [9М]
Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі
ВАРІАНТ 4

Завдання 1 Укажіть рівняння, що є квадратним.

Рівняння виду 2 + bx + c = 0 називається квадратним.

A х² – $\frac{1}{x}$ + 9 = 0       Б 4х² + х – 11 = 0

B 4х – 11 = 0              Г х³ + 2х – 7 = 0

Завдання 2 Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює числу –16, то квадратне рівняння...

Якщо дискримінант додатній, то квадратне рівняння має два корені, якщо дискримінант дорівнює нулю – то один корінь, якщо менший від нуля – то не має коренів.

A Має два різних корені Б Має безліч коренів

B Має один корінь          Г Не має коренів

Завдання 3 Нехай х₁ і х₂ – корені рівняння х² + 9х + 5 = 0. Тоді...

Якщо х₁ і х₂ – корені зведеного рівняння х² + рх + q = 0, то за теоремою Вієта їхній добуток дорівнює q (вільному члену), а сума дорівнює —p (коефіцієнту, взятому з протилежним знаком).
х₁ і х₂ – корені зведеного квадратного рівняння х² + 9х + 5 = 0, то

А	х1 + x2 = —p = —9 х1х2 = q = 5

Завдання 4 Розв'яжіть неповне квадратне рівняння:

1) 2х² – 18 = 0

2х² = 18

х² = 18 : 2

х² = 9

х = ±$\sqrt{3}$

х₁ = $\sqrt{3}$

х₂ = —$\sqrt{3}$

Відповідь: —$\sqrt{3}$; $\sqrt{3}$.

2) 5х² – 6х = 0

х(5х – 6) = 0

х = 0 або

5х – 6 = 0 5х = 6 х = $\frac{6}{5}$ х = 1,2

Відповідь: 0; 1,2.

Завдання 5 Розв'яжіть рівняння:

1) 3х² + 2х – 8 = 0

D = 2² – 4 • 3 • (—8) = 4 + 96 = 100

x₁ = $\frac{\text{—}2+\sqrt{100}}{2\text{•}3}$= $\frac{\text{—}2+10}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ = $1\frac{1}{3}$
x₂ = $\frac{\text{—}2\text{–}\sqrt{100}}{2\text{•}3}$= $\frac{\text{—}2\text{–}10}{6}$ = —$\frac{12}{6}$ = —2

Відповідь: —2; $1\frac{1}{3}$.

2) х² + 12х + 36 = 0

х² – 2 • х • 6 + 6² = 0

(х – 6)² = 0

х – 6 = 0

х = 6

Відповідь: 6. 

Завдання 6 Площа прямокутника дорівнює 180 см², а одна з його сторін на З см більша за іншу. Знайдіть периметр прямокутника.

Нехай х – одна сторона прямокутника, (x + 3) – інша сторона, то x(x+ 3) – площа. Маємо рівняння.

x(x + 3) = 180

x² + 3x – 180 = 0

D = 3² – 4 • 1 • (—180) = 9 + 720 = 729

x₁ = $\frac{\text{—}3+\sqrt{729}}{2\text{•}1}$ = $\frac{\text{—}3+27}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = 12

x₂ =$\frac{\text{—}3\text{–}\sqrt{729}}{2\text{•}1}$ = $\frac{\text{—}3\text{–}27}{2}$ = —$\frac{30}{2}$ = —15 (не підходить, оскільки довжина є додатнім числом).

x = 12 (см) – одна сторона.

х + 3 = 12 + 3 = 15 (см) – інша сторона.

Р = 12 • 2 + 15 • 2 = 24 + 30 = 54 (см)

Відповідь: 54 сантиметри.

Завдання 7 Розв'яжіть рівняння:

1) (х + 2)² = 4х – 6

х² + 2 • х • 2 + 2² = 4х – 6

х² + 4х + 4 – 4х + 6 = 0

х² + 10 = 0

х² = —10 (рівняння не має коренів)

Відповідь: Ø.

2) $\frac{1}{2}$х² + х – 5 = 0          |•2

х² + 2х – 10 = 0

D = 2² – 4 • 1 • (—10) = 4 + 40 = 44

x₁ = $\frac{\text{—}2+\sqrt{44}}{2\text{•}1}$ = $\frac{\text{—}2+2\sqrt{11}}{2}$ = — $\frac{2}{2}+\frac{2\sqrt{11}}{2}$ = —1 + $\sqrt{11}$

x₂ = $\frac{\text{—}2\text{–}\sqrt{44}}{2\text{•}1}$ = $\frac{\text{—}2\text{–}2\sqrt{11}}{2}$= —$\frac{2}{2}\text{–}\frac{2\sqrt{11}}{2}$ = —1 – $\sqrt{11}$

Відповідь: —1 ± √11.

Завдання 8 Знайдіть три послідовних натуральних числа, якщо квадрат біль­шого з них на 117 менший від суми квадратів двох інших.

Нехай х – найменше число, х + 1 – друге, х + 2 третє, то (х + 2)² – квадрат найбільшого, х² + (х + 1)² – сума квадратів двох інших. Маємо рівняння.

х² + (х + 1)² – (х + 2)² = 117

х² + х² + 2х + 1 – (х² + 4х + 4) – 117 = 0

х² + х² + 2х + 1 – х² – 4х – 4 – 117 = 0

х² – 2х – 120 = 0

х1х2 = —120 х1 + х2 = 2

Маємо корені рівняння:

х₁ = 12

х₂ = —10

Оскільки число натуральні, то маємо один корінь х = 12.

х + 1 = 12 + 1 = 13

х + 2 = 12 + 2 = 14

Відповідь: 12, 13, 14.

Завдання 9 Розв'яжіть рівняння

($\sqrt{x}$ – 2)(х² – 4х – 5) = 0

(область визначення рівняння): х ≥0

√х – 2 = 0 або $\sqrt{x}$ = 2 х = (2)2 х = 4

х2 – 4х – 5 = 0 За теоремою Вієта х1х2 = —5 х1 + х2 = 4 Маємо корені: х1 = —1 х2 = 5

Відповідь: —1; 5.