ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА № 5 [9М]
Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі
ВАРІАНТ 3

Завдання 1 Укажіть рівняння, що є квадратним.

Рівняння виду ax² + bx + c = 0 називається квадратним.

A 7х – 11 = 0         Б х² – $\frac{7}{x}$ + 8 = 0

B 2х³ – х² + х = 0  Г Зх² – х – 9 = 0

Завдання 2 Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, то ква­дратне рівняння...

Якщо дискримінант додатній, то квадратне рівняння має два корені, якщо дискримінант дорівнює нулю – то один корінь, якщо менший від нуля – то не має коренів.

A Має безліч коренів Б Має два різних корені

B Має один корінь    Г Не має коренів

Завдання 3 Нехай х₁ і х₂ – корені рівняння х² + 4х – 9 = 0. Тоді...

Якщо х₁ і х₂ – корені зведеного рівняння х² + рх qq (вільному члену), а сума дорівнює —p (коефіцієнту, взятому з протилежним знаком).

Б	х1 + x2 = —p = —(—4) = 4 х1х2 =q = —9

Завдання 4 Розв'яжіть неповне квадратне рівняння:

1) 3х² – 27 = 0

3х² = 27

х² = 27 : 3

х² = 9

х = ±$\sqrt{3}$

х₁ = $\sqrt{3}$

х₂ = —$\sqrt{3}$

Відповідь: —$\sqrt{3}$; $\sqrt{3}$.

2) 3х² – 4х = 0

х = 0 або

3х – 4 = 0 3х = 4 х = $\frac{4}{3}$ х = $1\frac{1}{3}$

Відповідь: 0;  1$\frac{1}{3}$. 

Завдання 5 Розв'яжіть рівняння:

1) 3х² – 2х – 8 = 0

D = (—2)² – 4 • 3 • (—8) = 4 + 96 = 100

x₁ = $\frac{2+\sqrt{100}}{2\text{•}3}$ = $\frac{2+10}{6}$ = 2
x₂ = $\frac{2\text{–}\sqrt{100}}{2\text{•}3}$ = $\frac{2\text{–}10}{6}$ = —$\frac{8}{6}$ = —$\frac{4}{3}$ = —$1\frac{1}{3}$

Відповідь: —$1\frac{1}{3}$; 2.

2) х² – 6х + 9 = 0

х² – 2•х•3 + 3² = 0

(х – 3)² = 0

х – 3 = 0

х = 3

Відповідь: 3.

Завдання 6 Площа прямокутника дорівнює 195 см², а одна з його сторін на 2 см менша за іншу. Знайдіть периметр прямокутника.

Нехай х – довжина прямокутника, (x – 2) – ширина прямокутника, то x(x – 2) – площа. Маємо рівняння.

x(x – 2) = 195

x² – 2x – 195 = 0

D = (—2)² – 4 • 1 • (—195) = 4 + 780 = 784

x₁ = $\frac{2+\sqrt{784}}{2\text{•}1}$ = $\frac{2+28}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

x₂ = $\frac{2\text{–}\sqrt{784}}{2\text{•}1}$ = $\frac{2\text{–}28}{2}$ = —$\frac{26}{2}$ = —13 (не підходить, оскільки довжина є додатнім числом).

x = 15 (см) – довжина.

х – 2 = 15 – 2 = 13 (см) – ширина.

Р = 15 • 2 + 13 • 2 = 30 + 26 = 56 (см)

Відповідь: 56 сантиметрів.

Завдання 7 Розв'яжіть рівняння:

1) (х 5х² + 2 • х • 2 + 2² = 2х – 5

х² + 4х + 4 – 2х + 5 = 0

х² + 2х + 9 = 0

D = 2² – 4 • 1 • 9 = 4 – 36 = —32

D < 0 (рівняння не має коренів)

Відповідь: Ø.

2) $\frac{1}{2}$х² + х – 9 = 0          |•2

х² + 2х – 18 = 0

D = 2 ² – 4 • 1 • (—18) = 4 + 72 = 76

x₁ = $\frac{\text{—}2+\sqrt{76}}{2\text{•}1}$ = $\frac{\text{—}2+\sqrt{76}}{2}$ = — $\frac{2}{2}+\frac{\sqrt{76}}{2}$ = —$1+\frac{\sqrt{76}}{2}$

x₁ = $\frac{\text{—}2–\sqrt{76}}{2\text{•}1}$ = $\frac{\text{—}2–\sqrt{76}}{2}$ = — $\frac{2}{2}–\frac{\sqrt{76}}{2}$ = —$1–\frac{\sqrt{76}}{2}$

Відповідь: —1 ± $\frac{\sqrt{76}}{2}$

Завдання 8 Знайдіть три послідовних натуральних числа, квадрат меншого з яких на 140 менший від суми квадратів двох інших.

Нехай х – найменше число, х + 1 – друге, х + 2 третє, то х² – квадрат меншого, (х + 1)² + (х + 2)² – сума квадратів двох інших. Маємо рівняння.

(х + 1)² + (х + 2)² – х² = 140

х² + 2х + 1 + х² + 4х + 4 – х² – 140 = 0

х² + 6х – 135 = 0

х1х2 = —135 х1 + х2 = —6

Маємо корені рівняння:

х₁ = 9

х₂ = —15

Оскільки число натуральне, то маємо один корінь х = 9.

х + 1 = 9 + 1 = 10

х + 2 = 9 + 2 = 11

Відповідь: 9, 10, 11.

Завдання 9 Розв'яжіть рівняння

($\sqrt{x}$ – 4)(х² – 2х – 8) = 0

ОВР (область визначення рівняння): х ≥0

$\sqrt{x}$ – 4 = 0 або $\sqrt{x}$ = 4 х = (4)2 х = 16

х2 – 2х – 8 = 0 За теоремою Вієта х1х2 = —8 х1 + х2 = 2 Маємо корені: х1 = —2 (не належить ОВР) х2 = 4

Відповідь: —2; 4.