ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА № 5 [9М]
Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі
ВАРІАНТ 2

Завдання 1 Укажіть рівняння, що є квадратним.

Рівняння виду ax² + bx + c = 0 називається квадратним.

A 4х² – 5х + 7 = 0        Б х³ – х² + 5 = 0

B х² + $\frac{5}{x}$ – 9 = 0          Г 7х – 11 = 0

Завдання 2 Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює 17, то квадратне рівняння...

Якщо дискримінант додатній, то квадратне рівняння має два корені, якщо дискримінант дорівнює нулю – то один корінь, якщо менший від нуля – то не має коренів.

A Має безліч коренів  Б Має два різних корені

B Має один корінь      Г Не має коренів

Завдання 3 Нехай х₁ і х₂ – корені рівняння х² – 3х – 7 = 0. Тоді...

Якщо х₁ і х₂ – корені зведеного рівняння х² + рх qq (вільному члену), а сума дорівнює —p (коефіцієнту, взятому з протилежним знаком).

Г	х1 + x2 = —p = —(—3) = 3 х1х2 =q = —7

Завдання 4 Розв'яжіть неповне квадратне рівняння:

1) 3х² – 12 = 0

3х² = 12

х² = 12 : 3

х² = 4

х = ±$\sqrt{2}$

х₁ = $\sqrt{2}$

х₂ = —$\sqrt{2}$

Відповідь: —$\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$.

2) 3х² + 7х = 0

х = 0 або

3х + 7 = 0 3х = —7 х = —$\frac{7}{3}$ х = —$2\frac{1}{3}$

Відповідь: —$2\frac{1}{3}$; 0.

Завдання 5 Розв'яжіть рівняння:

1) 2х² + 7х + 6 = 0

D = (7)² – 4 • 2 • 6 = 49 – 48 = 1

x₁ = $\frac{\text{—}7+\sqrt{1}}{2\text{•}2}$ = $\frac{\text{—}7+1}{4}$ = —$\frac{6}{4}$ = —15

x₂ = $\frac{\text{—}7\text{–}\sqrt{1}}{2\text{•}2}$ = —$\frac{\text{—}7\text{–}1}{4}$ = —$\frac{8}{4}$ = —2

Відповідь: —15; —2. 

2) х² – 10х + 25 = 0

х² – 2•х•5 + 5² = 0

(х – 5)² = 0

х – 5 = 0

х = 5

Відповідь: 5. 

Завдання 6 Одна зі сторін прямокутника на 2 см більша за іншу, а його площа дорівнює 168 см². Знайдіть периметр прямокутника.

Нехай х – одна сторона прямокутника, (x + 2) – інша сторона, то x(x+ 2) – площа. Маємо рівняння.

x(x + 2) = 168

x² + 2x – 168 = 0

D = 2² – 4 • 1 • (—168) = 4 + 672 = 676

x₁ = $\frac{\text{—}2+\sqrt{676}}{2\text{•}1}$ =$\frac{\text{—}2+26}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = 12

x₂ = $\frac{\text{—}2\text{–}\sqrt{625}}{2\text{•}1}$ =$\frac{\text{—}2\text{–}26}{2}$ = —$\frac{28}{2}$ = —14 (не підходить, оскільки довжина є додатнім числом).

x = 12 (см) – одна сторона.

х + 2 = 12 + 2 = 14 (см) – інша сторона.

Р = 12 Відповідь: 52 сантиметри.

Завдання 7 Розв'яжіть рівняння:

1) (х – 1)² = 2х – 4

х² – 2 • х • 1 + 1² = 2х – 4

х² – 2х + 1 – 2х + 4 = 0

х² – 4х + 5 = 0

D = (—4)² – 4 • 1 • 5 = 16 – 20 = —4

D < 0 (рівняння не має коренів)

Відповідь: Ø.

2) $\frac{1}{2}$х² – х – 7 = 0        |•2

х² – 2х – 14 = 0

D = (—2) ² – 4 • 1 • (—14) = 4 + 56 = 60

x₁ = $\frac{2+\sqrt{60}}{2\text{•}1}$ = $\frac{2+\sqrt{60}}{2}$ = $\frac{2}{2}+\frac{\sqrt{60}}{2}$ = $1+\frac{\sqrt{60}}{2}$

x₂ = $\frac{2–\sqrt{60}}{2\text{•}1}$ = $\frac{2–\sqrt{60}}{2}$ = $\frac{2}{2}–\frac{\sqrt{60}}{2}$ = $1–\frac{\sqrt{60}}{2}$

Відповідь: 1 ± $\sqrt{\frac{60}{2}}$

Завдання 8 Знайдіть три послідовних натуральних числа, квадрат більшого з яких на 96 менший від суми квадратів двох інших.

Нехай х – найменше число, х + 1 – друге, х + 2 третє, то (х + 2)² – квадрат найбільшого, х² + (х + 1)² – сума квадратів двох інших. Маємо рівняння.

х² + (х + 1)² – (х + 2)² = 96

х² + х² + 2х + 1 – (х² + 4х + 4) – 96 = 0

х² + х² + 2х + 1 – х² – 4х – 4 – 96 = 0

х² – 2х – 99 = 0

х1х2 = —99 х1 + х2 = —2

Маємо корені рівняння:

х₁ = 9

х₂ = —11

Оскільки число натуральні, то маємо один корінь х = 9.

х + 1 = 9 + 1 = 10

х + 2 = 9 + 2 = 11

Відповідь: 9, 10, 11.

Завдання 9 Розв'яжіть рівняння

($\sqrt{x}$ – 2)(х² – 3х – 10) = 0

$\sqrt{x}$ – 2 = 0 або $\sqrt{x}$ = 2 х = (2)2 х = 4

х2 – 3х – 10 = 0 За теоремою Вієта х1х2 = —10 х1 + х2 = 3 Маємо корені: х1 = —2 (не належить ОВР) х2 = 5

Відповідь: —2; 5.