ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА № 5 [9М]
Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі
ВАРІАНТ 1

Завдання 1 Укажіть рівняння, що є квадратним.

Рівняння виду ax² + bx + c = 0 називається квадратним.

A Зх³ – х² – х = 0         Б х² + $\frac{1}{x}$ – 5 = 0

B 5x² – 2x – 3 = 0       Г 4х – 7 = 0

Завдання 2 Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює числу —9, то квадратне рівняння...

Якщо дискримінант додатній, то квадратне рівняння має два корені, якщо дискримінант дорівнює нулю – то один корінь, якщо менший від нуля – то не має коренів.

A Не має коренів           Б Має один корінь

B Має два різних корені Г Має безліч коренів

Завдання 3 Нехай х₁ і х₂ – корені рівняння х² + 2х – 5 = 0. Тоді...

Якщо х₁ і х₂ – корені зведеного рівняння х² + рх qq (вільному члену), а сума дорівнює —p (коефіцієнту, взятому з протилежним знаком).

х₁ і х₂ – корені зведеного квадратного рівняння х² + 2х – 5 = 0, то

Г	х1х2 =q = —5 х1 + x2 = —p = —2

Завдання 4 Розв'яжіть неповне квадратне рівняння:

1) 2х² – 8 = 0

2х² = 8

х² = 8 : 2

х² = 4

х = ±$\sqrt{2}$

х₁ = $\sqrt{2}$

х₂ = —$\sqrt{2}$

Відповідь: —$\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$.

2) 4х² – 5х = 0

х(4х – 5) = 0

х = 0 або

4х – 5 = 0 4х = 5 х = $\frac{5}{4}$ х = 1,25

Відповідь: 0; 1,25.

Завдання 5 Розв'яжіть рівняння:

1) 2х² – 7х + 6 = 0

D = (—7)² – 4 • 2 • 6 = 49 – 48 = 1

x₁ = $\frac{7+\sqrt{1}}{2\text{•}2}$ = $\frac{8}{4}$ = 2
x₂ = $\frac{7\text{–}\sqrt{1}}{2\text{•}2}$ = $\frac{6}{4}$ = 1,5

Відповідь: 1,5; 2. 

2) х² + 6х + 9 = 0

х² + 2 • х • 3 + 3² = 0

(х + 3)² = 0

х + 3 = 0

х = —3

Відповідь: —3.

Завдання 6 Одна зі сторін прямокутника на 3 см менша за іншу, а його площа дорівнює 154 см². Знайдіть периметр прямокутника.

Нехай х – довжина прямокутника, (x – 3) – ширина прямокутника, то x(x– 3) – площа. Маємо рівняння.

x(x – 3) = 154

x² – 3x – 154 = 0

D = (—3)² – 4 • 1 • (—154) = 9 + 616 = 625

x₁ = $\frac{3+\sqrt{625}}{2\text{•}1}$ = $\frac{3+25}{2}$ = $\frac{28}{2}$ = 14

x₂ = $\frac{3\text{–}\sqrt{625}}{2\text{•}1}$ =$\frac{3\text{–}25}{2}$ = —$\frac{22}{2}$ = —11 (не підходить, оскільки довжина є додатнім числом).

x = 14 (см) – довжина. х – 3 = 14 – 3 = 11 (см) – ширина.

Р = (14 + 11) • 2 = 50 (см)

Відповідь: 50 сантиметрів.

Завдання 7 Розв'яжіть рівняння:

1) (х – 2)² = 2х – 6

х² – 2 • х • 2 + 2² = 2х – 6

х² – 4х + 4 – 2х + 6 = 0

х² – 6х + 10 = 0

D = 6² – 4 • 1 • 10 = 36 – 40 = —4

D < 0 (рівняння не має коренів)

Відповідь: Ø.

2) $\frac{1}{2}$ х² – х – 5 = 0      |•2

х² – 2х – 10 = 0

D = (—2) ² – 4 • 1 • (—10) = 4 + 40 = 44

x₁ = $\frac{2+\sqrt{44}}{2\text{•}1}$ = $\frac{2+2\sqrt{11}}{2}$ = $\frac{2}{2}+\frac{2\sqrt{11}}{2}$ = 1 + $\sqrt{11}$

x₂ = $\frac{2\text{–}\sqrt{44}}{2\text{•}1}$ = $\frac{2\text{–}2\sqrt{11}}{2}$ = $\frac{2}{2}\text{–}\frac{2\sqrt{11}}{2}$ = 1 – $\sqrt{11}$

Відповідь: 1 ± $\sqrt{11}$.

Завдання 8 Знайдіть три послідовних натуральних числа, якщо квадрат мен­шого з них на 165 менший від суми квадратів двох інших.

Нехай х – найменше число, х + 1 – друге, х + 2 третє, то х² – квадрат меншого, (х + 1)² + (х + 2)² – сума квадратів двох інших. Маємо рівняння.

(х + 1)² + (х + 2)² – х² = 165

х² + 2х + 1 + х² + 4х + 4 – х² – 165 = 0

х² + 6х – 160 = 0

За теоремою Вієта

х1х2 = —160 х1 + х2 = —6

Маємо корені рівняння:

х₁ = 10

х₂ = —16

Оскільки число натуральні, то маємо один корінь х = 10.

х + 1 = 10 + 1 = 11

х + 2 = 10 + 2 = 12

Відповідь: 10, 11, 12.

Завдання 9 Розв'яжіть рівняння

($\sqrt{x}$– 3)(х² + 2х – 8) = 0

ОВР (область визначення рівняння): х ≥0

$\sqrt{x}$ – 3 = 0 або $\sqrt{x}$ = 3 х = 32 х = 9

х2 + 2х – 8 = 0 За теоремою Вієта х1х2 = —8 х1 + х2 = —2 Маємо корені: х1 = —4 (не належить ОВР) х2 = 2

Відповідь: 2; 9.