ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

САМОСТІЙНА РОБОТА №10 [18M]

Теорема Вієта. Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі

ВАРІАНТ 4

Завдання 1 Чому дорівнює добуток коренів квадратного рівняння х² – 5х + 2 = 0?

Для зведеного квадратного рівняння x² – 5х + 2 = 0 добуток коренів дорівнює вільному члену.

х₁ x₂ = 2.

А 5   Б —2    В —5    Г 2

Завдання 2 Добуток двох натуральних чисел дорівнює 112, причому одне з них на 6 більше за інше. Знайдіть ці числа.

Нехай х – перше число, x + 6 – наступне число, х(х + 6) - добуток двох чисел. Маємо рівняння.

x(x + 6) = 112

x² + x – 112 = 0

D = 6² – 4 • 1 • (—112) = 36 + 448 = 484

x₁ = $\frac{\text{—}1+\sqrt{484}}{2\text{•}1}$ = $\frac{\text{—}6+22}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

x₂ = $\frac{\text{—}1–\sqrt{484}}{2\text{•}1}$ = $\frac{\text{—}6–22}{2}$ = —$\frac{28}{2}$ = —14 (не підходить, оскільки числа натуральні).

x = 8

у = 8 + 6 = 14

Відповідь: 8 і 14. 

Завдання 3 Один з коренів рівняння х² + рх + 15 = 0 дорівнює 2,5. Знайдіть р і другий корінь.

Якщо х₁ та х₂ – корені зведеного квадратного рівняння х² + рх + q = 0, то за теоремою Вієта добуток його коренів дорівнює вільному члену (х₁х₂ = q).

Нехай х₁ = 2,5. Знайдемо корінь х₂.

2,5 • х₂ = 15

х₂ = 15 : 2,5 = 150 : 25 = 6

Якщо х₁ та х₂ – корені зведеного квадратного рівняння х² + рх + q = 0, то за теоремою Вієта сума його коренів х₁ + х₂ = —р.

—р = 2,5 + 6

—р = 8,5

р = —8,5

Відповідь: р = —8,5; х₂ = 6.

Завдання 4 У чемпіонаті міста з футболу було зіграно 36 матчів, причому кож­на команда зіграла з іншою по одному разу. Скільки команд узяло участь у цьому чемпіонаті?

Нехай х команд. Кожна команда зіграла (х – 1) матч, тоді всі х команд зіграли х(х – 1) матчів. Оскільки кожний матч пораховано двічі, то всього матчів удвічі менше. Маємо рівняння.

$\frac{x\left(\text{х –}1\right)}{2}$ = 36      |•2

х(х – 1) = 72

х² – х – 72 = 0

За теоремою Вієта

х₁х₂ = —72

х₁ + х₂ = 1

Маємо корені рівняння:

х₁ = 9

х₂ = —8

Оскільки кількість команд не може бути від’ємним числом, то маємо один корінь х = 9.

Відповідь: 9 команд.