ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

САМОСТІЙНА РОБОТА №10 [18M]

Теорема Вієта. Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі

ВАРІАНТ 3

Завдання 1 Чому дорівнює сума коренів квадратного рівняння х² + 5х – 7 = 0?

Для зведеного квадратного рівняння x² + 5х – 7 = 0 сума коренів дорівнює коефіцієнту, взятому з протилежним знаком.

х₁ + х₂ = —5

А 7    Б —5    В 5     Г —7

Завдання 2 Одне з двох натуральних чисел на 4 менше від іншого. Знайдіть ці числа, якщо їх добуток дорівнює 117.

Нехай х – перше число, x – 4 – друге число, x(x– 4) – добуток чисел. Маємо рівняння.

x(x – 4) = 117

x² – 4x – 117 = 0

D = (—4)² – 4 • 1 • (—117) = 16 + 468 = 484

x₁ = $\frac{4+\sqrt{484}}{2\text{•}1}$ = $\frac{4+24}{2}$ = $\frac{28}{2}$ = 13

x₂ = $\frac{4–\sqrt{484}}{2\text{•}1}$ = $\frac{4\text{–}22}{2}$ = —$\frac{18}{2}$ = —9 (не підходить, оскільки числа натуральні).

x = 13

у = 13 – 4 = 9

Відповідь: 13; 9.  

Завдання 3 Один з коренів рівняння х² – 4,5х + q = 0 дорівнює 1,5. Знайдіть q і другий корінь.

Нехай перший корінь х₁ = 1,5.

Якщо х₁ та х₂ – корені зведеного квадратного рівняння х² + рх + q = 0, то за теоремою Вієта сума його коренів х₁+ х₂ = —р.

1,5 + х₂ = —(—4,5)

1,5 + х₂ = 4,5

х₂ = 4,5 – 1,5 = 3

Якщо х₁ та х₂ – корені зведеного квадратного рівняння х² + рх + q = 0, то за теоремою Вієта добуток його коренів дорівнює вільному члену (х₁х₂ = q).

q = 1,5 • 3 = 4,5

Відповідь: q = 4,5; х₂ = 3.

Завдання 4 На шаховому турнірі було зіграно 28 партій. Кожний шахіст зіграв з іншим по одному разу. Скільки шахістів узяло участь у цьому турнірі?

Нехай х шахістів. Кожний шахіст зіграв (х – 1) партію, тоді всі х шахістів зіграли х(х – 1) партій. Оскільки кожну партію пораховано двічі, то всього партій удвічі менше. Маємо рівняння.  

$\frac{x\left(\text{х –}1\right)}{2}$ = 28     |•2

х(х – 1) = 56

х² – х – 56 = 0

За теоремою Вієта

х₁х₂ = —56

х₁ + х₂ = 1

Маємо корені рівняння:

х₁ = 8

х₂ = —7

Оскільки кількість команд не може бути від’ємним числом, то маємо один корінь х = 8.

Відповідь: 8 шахістів.