ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

САМОСТІЙНА РОБОТА №10 [18M]

Теорема Вієта. Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі

ВАРІАНТ 2

Завдання 1 Чому дорівнює сума коренів квадратного рівняння  x² – 3х – 8 = 0?

Для зведеного квадратного рівняння x² – 3х – 8 = 0 сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним значенням. 

х₂ = —(—3) = 3

А 8   Б —3   В 3    Г —8

Завдання 2 Добуток двох натуральних чисел дорівнює 135, причому одне з них на 6 менше від іншого. Знайдіть ці числа.

Нехай х – перше число, (x – 6) – друге число, x(x – 6) – добуток чисел. Маємо рівняння.

x(x – 6) = 135

x² – 6x – 135 = 0

D = (—6)² – 4 • 1 • (—135) = 36 + 540 = 576

x₁ =  $\frac{6+\sqrt{576}}{2\text{•}1}$ = $\frac{6+24}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

x₂ = $\frac{6–\sqrt{576}}{2\text{•}1}$ = $\frac{6–24}{2}$ = $\frac{\text{—}18}{2}$ = —9 (не підходить, оскільки числа натуральні).

x = 15

у = 15 – 6 = 9

Відповідь: 15 і 9.

Завдання 3 Один з коренів рівняння х² + 2,5х + q = 0 дорівнює 3,5. Знайдіть коефіцієнт q і другий корінь рівняння.

Нехай перший корінь х₁ = 3,5.

Якщо х₁ та х₂ – корені зведеного квадратного рівняння х² + рх + q = 0, то за теоремою Вієта сума його коренів х₁ + х₂ = —р.

3,5 + х₂ = —2,5

х₂ = —2,5 – 3,5 = —6

Якщо х₁ та х₂ – корені зведеного квадратного рівняння х² + рх + q = 0, то за теоремою Вієта добуток його коренів дорівнює вільному члену (х₁х₂ = q).

q = 3,5 • (—6) = —21

Відповідь: q = —21; х₂ = —6.

Завдання 4 У чемпіонаті університету з волейболу було зіграно 66 матчів, при­чому кожна команда з іншою зіграла по одному разу. Скільки ко­манд узяло участь у цьому чемпіонаті?

Нехай х команд. Кожна команда зіграла (х – 1) матч, тоді всі х команд зіграли х(х – 1) матчів. Оскільки кожний матч пораховано двічі, то всього матчів удвічі менше. Маємо рівняння. 

$\frac{x\left(x\text{–}1\right)}{2}$ = 66  |•2

х(х – 1) = 132

х² – х – 132 = 0

D = (—1)² – 4 • 1 • (—132) = 1 + 528 = 529

x₁ = $\frac{1+\sqrt{529}}{2\text{•}1}$ = $\frac{1+23}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = 12

x₂ = $\frac{1–\sqrt{529}}{2\text{•}1}$ = $\frac{1\text{–}23}{2}$ = —$\frac{22}{2}$ = —11

Оскільки кількість команд не може бути від’ємним числом, то маємо один корінь х = 12. 

Відповідь: 12 команд.