ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

САМОСТІЙНА РОБОТА №10 [18M]

Теорема Вієта. Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі

ВАРІАНТ 1

Завдання 1 Чому дорівнює добуток коренів квадратного рівняння x² + 2х – 7 = 0?

Для зведеного квадратного рівняння x² + 2х – 7 = 0 добуток коренів дорівнює вільному члену:  х₁х₂ = —7

А —7    Б 7    В 2   Г —2

Завдання 2 Одне з двох натуральних чисел на 5 більше за інше. Знайдіть ці числа, якщо їх добуток дорівнює 104.

Нехай х – перше число, x+5 – друге число, x(x+5) – добуток чисел. Маємо рівняння. 

x(x + 5) = 104

x² + 5x – 104 = 0

D = (5)² – 4 • 1 • (—104) = 25 + 416 = 441

x₁ = $\frac{\text{—}5+\sqrt{441}}{2\text{•}1}$ = $\frac{\text{—}5+21}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

x₂ = $\frac{\text{—}5–\sqrt{441}}{2\text{•}1}$ = $\frac{\text{—}5–21}{2}$ = $\frac{\text{—}26}{2}$ = —13  (не підходить, оскільки числа натуральні).

x = 8

у = 8 + 5 = 13

Відповідь: 8 і 13.

Завдання 3 Один з коренів рівняння х² + рх – 12 = 0 дорівнює 1,5. Знайдіть коефіцієнт р і другий корінь рівняння.

Якщо х₁ та х₂ – корені зведеного квадратного рівняння х² + рх + q = 0, то за теоремою Вієта добуток його коренів дорівнює вільному члену q. 

Нехай х₁ = 1,5. Знайдемо корінь х₂.

1,5 • х₂ = —12

х₂ = (—12) : 1,5 = (—120) : 15 = —8

Якщо х₁ та х₂ – корені зведеного квадратного рівняння х² + рх + q = 0, то за теоремою Вієта сума його коренів х₁ + х₂ = —р.

—р = 1,5 + (—8)

—р = —6,5

р = 6,5

Відповідь: р = 6,5; х₂ = —8.

Завдання 4 У чемпіонаті школи з баскетболу провели 21 матч. Кожна коман­да з іншою зіграла по одному разу. Скільки команд узяло участь у цьому чемпіонаті?

Нехай х команд. Кожна команда зіграла (х – 1) матч, тоді всі х команд зіграли х(х – 1) матчів. Оскільки кожний матч пораховано двічі, то всього матчів удвічі менше. Маємо рівняння. 

$\frac{x\left(\text{х –}1\right)}{2}$ = 21      |•2

х(х – 1) = 42

х² – х – 42 = 0

За теоремою Вієта

х1х2 = —42 х1 + х2 = 1

Маємо корені рівняння:

х₁ = 7

х₂ = —6  

Оскільки кількість команд не може бути від’ємним числом, то маємо один корінь х = 7.

Відповідь: 7 команд.