ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА №4 [7M]

Квадратні корені. Дійсні числа

ВАРІАНТ З

Завдання 1 Для функції у = х² знайдіть значення у, яке відповідає значенню х = —8.

У рівняння підставимо значення х = —8, використаємо формулу (—а)² = а².

(—8)² = 8² = 64

А 64   Б —64    В —16     Г 16

Завдання 2 Укажіть вираз, який не має змісту.

За визначенням корінь позначаємо $\sqrt{\text{а}}$, причому a ≥ 0. 

А $\sqrt{11}$   Б $\sqrt{36}$    В $\sqrt{\mathrm{—25}}$   Г$\sqrt{0}$

Завдання 3 Яке із чисел є ірраціональним?

Ірраціональні вирази можна представити нескінченним неперіодичним десятковим дробом.

А 5

Б √5

В $\sqrt{81}$ = 9

Г $\sqrt{\frac{1}{4}}$= $\frac{1}{2}$

Завдання 4 Обчисліть:

1)$\sqrt{1\frac{11}{25}}–10\sqrt{0\text{,}16}$ =

= $\sqrt{\frac{1•25+11}{25}}–10\sqrt{0\text{,}16}$ =

= $\sqrt{\frac{36}{25}}–10•0,4$ = $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}–4$=

= $\frac{6}{5}$ – 4 = 1,2 – 4 = —2,8

2) (—3$\sqrt{5}$)² = (—3)²($\sqrt{5}$)² = 3² • 5 = 9 • 5 = 45

3)$\sqrt{2,5}•\sqrt{0,1}$= $\sqrt{2,5•0,1}$ = $\sqrt{16}$ = 0,5

4)$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{2\text{,}5}}$ =$\sqrt{\frac{40}{2,5}}$ = $\sqrt{\frac{400}{25}}$ = $\sqrt{36}$ = 4

Завдання 5 Розв'яжіть рівняння:

1)$\sqrt{x}$ = —1

Для графіка функції y = $\sqrt{x}$, область значень y ≥ 0.

Область значень не може бути від’ємним числом, тому рівняння не має коренів.

Відповідь: Ø

2)$\sqrt{x}=\frac{4}{7}$

З означення квадратного кореня:

х = $(\frac{4}{7}{)}^2$

х = $\frac{4^2}{7^2}$

х = $\frac{16}{49}$

3) х² = —25

Квадрат числа не може бути від’ємним число, тому рівняння не має коренів.

Відповідь: Ø

4) х² = 9

х = $\sqrt{9}$

х = 3 або х = —3

Завдання 6 Скоротіть дріб:

1) Використаємо формули а = ($\sqrt{а}$) ², а² – b² = (a – b)(a + b).

$\frac{{\text{х}}^2–3}{\text{х}–\sqrt{3}}$ = $\frac{{\text{х}}^2{–\; (\sqrt{3})}^2}{\text{х}–\sqrt{3}}$ =

= $\frac{\left(\text{х –}\sqrt{3}\right)(\text{х}+\sqrt{3})}{(\text{х}–\sqrt{3})}$= $\text{х}+\sqrt{3}$

 

2) Щоб позбутися кореня у знаменнику дробу, у чисельнику винесемо за дужки спільний множник $\sqrt{7}$. 

$\frac{2\sqrt{7}+7}{3\sqrt{7}}$= $\frac{2\sqrt{7}+{\left(\sqrt{7}\right)}^2}{3\sqrt{7}}$=

= $\frac{\sqrt{7}(2+\sqrt{7})}{3\sqrt{7}}$ = $\frac{2+\sqrt{7}}{3}$

Завдання 7 Порівняйте числа:

1)$\frac{4}{5}\sqrt{50}$ <  $\frac{3}{5}\sqrt{125}$

$\frac{4}{5}\sqrt{50}$= $\frac{4}{5}•\sqrt{25•2}$=$\frac{4}{5}•\sqrt{25}•\sqrt{2}$ = $\frac{4•5}{5}•\sqrt{2}$= $\sqrt{{2\text{•}4}^2}$= $\sqrt{2\text{•}16}$= $\sqrt{32}$

$\frac{3}{5}\sqrt{125}$ = $\frac{3}{5}\sqrt{25•5}$= $\frac{3•5}{5}\sqrt{5}$ = $3\sqrt{5}$= $\sqrt{5\text{•}{3}^2}$= $\sqrt{5\text{•}9}$= $\sqrt{45}$

Порівняємо:   $\sqrt{32}$ < $\sqrt{45}$  

2)$0,4\sqrt{\frac{23}{32}}$ = $0,2\sqrt{2\frac{7}{8}}$

$0,4\sqrt{\frac{23}{32}}$= $\frac{4}{10}•\sqrt{\frac{23}{32}}$= $\sqrt{\frac{16}{100}}•\sqrt{\frac{23}{32}}$=$\sqrt{\frac{16•23}{100•32}}$=$\sqrt{\frac{23}{200}}$

$0,2\sqrt{2\frac{7}{8}}$ = $0,2•\frac{2•8+7}{8}$ = $\frac{2}{10}$ • $\sqrt{\frac{23}{8}}$ = $\sqrt{\frac{4•23}{100•8}}$ = $\sqrt{\frac{23}{200}}$ 

Порівняємо: $\sqrt{\frac{23}{200}}$ = $\sqrt{\frac{23}{200}}$

Завдання 8 Винесіть множник з-під знака кореня:

1)$\sqrt{c^{15}}$ = $\sqrt{c}$^7•2+1 = $\sqrt{{\left(c^7\right)}^{2}c}$= |с⁷| $\sqrt{c}$= с⁷$\sqrt{c}$, оскільки с¹⁵≥0, то с≥0.

2) $\sqrt{2a^6}$=  $\sqrt{2{\left(a^3\right)}^2}$ = |а³|$\sqrt{2}$ = —а^3$\sqrt{2}$, якщо а < 0.

Завдання 9 Знайдіть значення виразу

Застосуємо формули (а – b)² = a² – 2ab + b², ($\sqrt{a}$)² = а, (a – b)(a + b) = a² – b² .

${(\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}})}^2$=

=${\left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\right)}^2$+$2\sqrt{7+4\sqrt{3}}\text{•}\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ +${\left(\sqrt{7-4\sqrt{3}}\right)}^2$ =

= $7+4\sqrt{3}$ + 2$\sqrt{7^2–{\left(4\sqrt{3}\right)}^2}$ + 7 − $4\sqrt{3}$ =

= 14 + 2 • $\sqrt{49–4^2{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$ =

= 14 + 2 • $\sqrt{49–16•3}$ =

= 14 + 2 • $\sqrt{49–48}$ =

= 14 + 2 • $\sqrt{1}$ = 14 + 2 = 16