ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА №4 [7M]

Квадратні корені. Дійсні числа

ВАРІАНТ 1

Завдання 1 Для функції у = х² знайдіть значення у, яке відповідає значенню х = —7.

У рівняння підставимо значення х = —7, використаємо формулу (—а)² = а².

(—7)² = 7² = 49

А —14    Б 14    В 49    Г —49

Завдання 2 Укажіть вираз, який не має змісту.

За означенням корінь позначаємо $\sqrt{а}$, причому а ≥ 0.   

А $\sqrt{0}$   Б $\sqrt{—4}$   В $\sqrt{7}$   Г $\sqrt{16}$

Завдання 3 Яке із чисел є ірраціональним?

Ірраціональні вирази можна представити нескінченним неперіодичним десятковим дробом.

А $\sqrt{36}$ = 6

Б  $\sqrt{\frac{1}{9}}$ = $\frac{1}{3}$ = 0,(3)

В 7

Г $\sqrt{7}$

Завдання 4 Обчисліть:

1)$\sqrt{1\frac{24}{25}}$  – 10$\sqrt{0,09}$ = $\sqrt{\frac{1•25+24}{25}}$ – 10 • 0,3 =

= $\sqrt{\frac{49}{25}}$ – 3 = $\frac{7}{5}–3$= 1,4 – 3 = —1,6 

2)(—2$\sqrt{7}$)² = (—2)²($\sqrt{7}$)² = 2² • 7 = 4 • 7 = 28

3)$\sqrt{0,1}•\sqrt{3,6}$=$\sqrt{0,1•3,6}$=$\sqrt{0,36}$= 0,6

4)  $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{1,5}}=\sqrt{\frac{24}{1,5}}=\sqrt{\frac{240}{15}}=\sqrt{16}=4$

Завдання 5 Розв'яжіть рівняння:

1)$\sqrt{х}=\frac{2}{3}$

З означення квадратного кореня:

$х=(\frac{2}{3}{)}^2$

$х=\frac{2^2}{3^2}$

$х=\frac{4}{9}$

2)$\sqrt{х}$ = (—2)

Для графіка функції  y = $\sqrt{x}$, область значень y ≥ 0.   

Область значень не може бути від’ємним числом, тому рівняння не має коренів.

Відповідь: Ø

3) х² = 64

х = $\sqrt{64}$

х = 8 або х = —8

4) х² = —4

Квадрат числа не може бути від’ємним число, тому рівняння не має коренів.

Відповідь: Ø

Завдання 6 Скоротіть дріб:

1) Використаємо формули а = ($\sqrt{а}$) ², а² – b² = (a – b)(a + b).

$$\begin{gathered} \frac{{х}^2–5 \\ }{х+\surd 5 \\ }=\frac{{х}^2{–\; (\surd 5)}^2 \\ }{х+\surd 5 \\ } \end{gathered}$$ =  

= $$\begin{gathered} \frac{(\text{х –}\surd 5)(\text{х}+\surd 5) \\ }{(\text{х}+\surd 5) \\ }=\text{х}–\sqrt{5} \end{gathered}$$ 

2) Щоб позбутися кореня у знаменнику дробу, у чисельнику винесемо за дужки спільний множник $\sqrt{3}$.

$$\begin{gathered} \frac{2\surd 3+3 \\ }{7\surd 3 \\ } \end{gathered}$$ = $$\begin{gathered} \frac{2\surd 3+{(\surd 3)}^2 \\ }{7\surd 3 \\ } \end{gathered}$$ =

= $$\begin{gathered} \frac{\surd 3(2+\surd 3) \\ }{7\surd 3 \\ } \end{gathered}$$ = $$\begin{gathered} \frac{(2+\surd 3) \\ }{7} \end{gathered}$$ 

Завдання 7 Порівняйте числа:

1)$\frac{2}{5}\sqrt{125}$ < $\frac{3}{5}\sqrt{75}$       

$\frac{2}{5}\sqrt{125}$= $\sqrt{125•\frac{4}{25}}=\sqrt{5•4}=\sqrt{20}$ 

$\frac{3}{5}\sqrt{75}$= $\sqrt{75•\frac{9}{25}}$= $\sqrt{3•9}$= $\sqrt{27}$

Порівняємо:  $\sqrt{20}$ < $\sqrt{27}$ 

2)$0,2\sqrt{2\frac{5}{8}}$ = $0,4\sqrt{\frac{21}{32}}$          

$0,2\sqrt{2\frac{5}{8}}$ = $0,2•\sqrt{\frac{2•8+5}{8}}$= $\sqrt{0,04•\frac{21}{8}}$= $\sqrt{\frac{0,21}{2}}$= $\sqrt{0,105}$

$0,4\sqrt{\frac{21}{32}}$= $\sqrt{0,16•\frac{21}{32}}$= $\sqrt{0,01•\frac{21}{2}}$ = $\sqrt{\frac{0,21}{2}}$= $\sqrt{0,105}$

Порівняємо:  $\sqrt{0\text{,}105}$ = $\sqrt{0\text{,}105}$

Завдання 8 Винесіть множник з-під знака кореня:

1)$\sqrt{a^{11}}$= $\sqrt{a}$^5•2+1 = $\sqrt{(a^5{)}^2•a}$  = $\sqrt{(a^5{)}^2}•\sqrt{a}$   =

= | $a^5|\sqrt{a}$= $a^5\sqrt{а}$, оскільки а¹¹ ≥ 0, то а≥0.

2)$\sqrt{7p}$⁶ = $\sqrt{7p}$^3•2 = √(p³)² • $\sqrt{7}$ = |p³|√7 = = —p³$\sqrt{7}$, якщо р < 0.

Завдання 9 Знайдіть значення виразу

Застосуємо формули (а + b)² = a² + 2ab + b², ($\sqrt{а}$)² = а, (a – b)(a + b) = a² – b² .

${(\sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{9+4\sqrt{5}})}^2$=

= ${\left(\sqrt{9–4\sqrt{5}}\right)}^2$ +$2•\sqrt{9–4\sqrt{5}}\sqrt{9+4\sqrt{5}}$ + ${\left(\sqrt{9+4\sqrt{5}}\right)}^2$=

= 9 – 4$\sqrt{5}$ + $2•\sqrt{(9–4\sqrt{5})(9+4\sqrt{5})}$ + 9 + 4$\sqrt{5}$ =

= $18+2•\sqrt{9^2–(4\sqrt{5}{)}^2}$ =

= $18+2•\sqrt{81–4^2(\sqrt{5}{)}^2}$

= $18+2•\sqrt{81–16•5}$ =

= $18+2•\sqrt{81–80}$ =

= 18 + 2 = 20