ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА №2 [3М]

Множення і ділення дробів. Тотожні перетворення раціональних виразів. Раціональні рівняння

ВАРІАНТ 1

Завдання 1

$\frac{15}{m^2}$ • $\frac{m}{5}$ = $\frac{5\text{•}3\text{•}m}{m\text{•}m\text{•}5}=\frac{3}{m}$

A $\frac{75}{m^3}$     Б $\frac{m}{3}$     В $\frac{3}{m}$      Г $\frac{3}{m^2}$

Завдання 2

$\frac{\text{а}}{5}\text{:}\frac{\text{а}}{4}$ = $\frac{a}{5}$ • $\frac{4}{a}=\frac{4}{5}$

А $\frac{5}{4}$     Б $\frac{4}{5}$      В $\frac{a^2}{20}$      Г $\frac{a}{20}$

Завдання 3 Укажіть рівняння, коренем якого є число 2.

Підставимо значення х = 2 у рівняння і перевіримо правильність рівності.

А $\frac{\text{х}+1}{x}=0$ ($\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$ ≠ 0, не підходить)

Б $\frac{\text{х}+2}{\text{х –}1}=0$ ($\frac{2+2}{2\text{–}1}$ = 4 ≠ 0, не підходить)

В $\frac{\text{х}}{\text{х –}2}=0$ (2 – 2 = 0, на нуль ділити не можна, не підходить)

Г $\frac{\text{х –}2}{x}=0$ ($\frac{2\text{–}2}{2}=0$, підходить)

Завдання 4 Виконайте дії.

1) $\frac{3m^3}{20p^2}$ • $\left(\text{—}\frac{5p}{6m^3}\right)$ =

= — $\frac{3m^3\text{•}5p}{4\text{•}5p\text{•}p\text{•}2\text{•}3m^3}$ = —$\frac{1}{4p\text{•}2}=\; —\frac{1}{8p}$ 

2) $\frac{m^2\text{–}\mathrm{mn}}{c^2}$ • $\frac{\mathrm{cd}}{m^2\text{–}2\mathrm{mn}+n^2}$ =

= $\frac{m\left(m\text{–}n\right)}{c^2}$ • $\frac{\mathrm{cd}}{{\left(m\text{–}n\right)}^2}$ =  $\frac{\mathrm{md}}{c\left(m\text{–}n\right)}$

3) —$\frac{4p^2}{7t^3}$ : $\left(\text{—}\frac{8p^3}{21t}\right)$ = $\frac{4p^2}{7t^3}$ • $\frac{21t}{8p^3}$ =

= $\frac{4p^2\text{•}7\text{•}3t}{7t\text{•}t2\text{•}p\text{•}4p^2\text{•}2}$ = $\frac{3}{t^2\text{•}p\text{•}2}=\frac{3}{2p{t}^2}$ 

4) $\frac{p^2\text{–}25}{3p\text{–}6}$ : $\frac{2p+10}{5p\text{–}10}$ =

= $\frac{p^2\text{–}{5}^2}{3\left(p\text{–}2\right)}$ • $\frac{5\left(p\text{–}2\right)}{2(p+5)}$ =

= $\frac{\left(p\text{–}5\right)(p+5)}{3}$ • $\frac{5}{2(p+5)}$ =

= $\frac{\left(p\text{–}5\right)\text{•}5}{3\text{•}2}=\frac{5\left(p\text{–}5\right)}{6}$ 

Завдання 5 Виконайте піднесення до степеня.

1) ${\left(\text{—}\frac{2p^2}{m^3}\right)}^3$ = — $\frac{{\left(2p^2\right)}^3}{{\left(m^3\right)}^3}$ =

= — $\frac{2^3{\left(p^2\right)}^3}{{\left(m^3\right)}^3}$ = — $\frac{8p^6}{m^9}$

2) ${\left(\frac{x^{2}y}{z^3}\right)}^8$ = $\frac{{\left(x^{2}y\right)}^8}{{\left(z^3\right)}^8}$ = $\frac{{\left(x^2\right)}^8{y}^8}{{\left(z^3\right)}^8}$ = $\frac{x^{16}{y}^8}{z^{24}}$

Завдання 6 

1) Розв'яжіть рівняння.

$\frac{\text{Зх}+15}{x\text{–}3}=0$

Дріб дорівнює 0, коли чисельник дорівнює 0.

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю, то ОВР містить усі числа, крім 3.

$\{\begin{array}{c}3x+15=0\\ x\text{–}3\text{≠}0\end{array}$  $\{\begin{array}{c}3x=\text{—}15\\ x\text{≠}3\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}15\text{:}3\\ x\text{≠}3\end{array}$  $\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}5\\ x\text{≠}3\end{array}$

х = —5

Відповідь: —5.

2) Розв'яжіть рівняння.

$\frac{2x^2\text{–}12}{x+3}=2x$

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю. ОВР містить усі числа, крім (—3).

$\frac{2x^2\text{–}12}{x+3}\text{–}2x=0$

$\frac{2x^2\text{–}12}{x+3}\text{–}\frac{2x(x+3)}{x+3}=0$ 

$\frac{2x^2\text{–}12\text{–}2x^2\text{–}6x}{x+3}=0$

$\frac{\text{—}12\text{–}6x}{\text{х}+3}=0$

$\{\begin{array}{c}\text{—}12\text{–}6x=0\\ x+3\text{≠}0\end{array}$  $\{\begin{array}{c}6x=\text{—}12\\ x\text{≠ —}3\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}12\text{:}6\\ x\text{≠ —}3\end{array}$    $\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}2\\ x\text{≠ —}3\end{array}$

x = —2

Відповідь: —2.

Завдання 7 Спростіть вираз.

1) $\left(\frac{3b+1}{3b\text{–}1}\text{–}\frac{3b\text{–}1}{3b+1}\right)$ : $\frac{6b^2}{9b^2\text{–}1}$ =

=$(\frac{(3b+1)(3b+1)}{\left(3b\text{–}1\right)(3b+1)}$ –$\frac{\left(3b\text{–}1\right)\left(3b\text{–}1\right)}{(3b+1)\left(3b\text{–}1\right)})$ • $\frac{9b^2\text{–}1}{6b^2}$ =

= $(\frac{{(3b+1)}^2}{\left(3b\text{–}1\right)(3b+1)}$ – $\frac{{\left(3b\text{–}1\right)}^2}{(3b+1)\left(3b\text{–}1\right)})$ • $\frac{{\left(3b\right)}^2\text{–}1}{6b^2}$ =

= $\frac{{(3b+1)}^2\text{–}{\left(3b\text{–}1\right)}^2}{\left(3b\text{–}1\right)(3b+1)}$ • $\frac{\left(3b\text{–}1\right)(3b+1)}{6b^2}$ =

= $\frac{(3b+1\text{–}(3b\text{–}1\left)\right)(3b+1+(3b\text{–}1\left)\right)}{6b^2}$ =

= $\frac{(3b+1\text{–}3b+1)\text{•}(3b+1+3b\text{–}1))}{6b^2}$ =

= $\frac{2\text{•}6b}{6b^2}=\frac{2}{b}$

Завдання 8 Доведіть тотожність.

$(\frac{5}{x+5}$ + $\frac{x^2+25}{x^2\text{–}25}$ – $\frac{5}{5\text{–}x})$ • $\frac{x\text{–}5}{x^2+10x+25}$ = $\frac{1}{x+5}$

$(\frac{5}{x+5}$ + $\frac{x^2+25}{x^2\text{–}25}$ – $\frac{5}{5\text{–}x})$ • $\frac{x\text{–}5}{x^2+10x+25}$ =

= $(\frac{5}{x+5}$ + $\frac{x^2+25}{\left(x\text{–}5\right)(x+5)}$ + $\frac{5}{5\text{–}x})$ • $\frac{x\text{–}5}{{(x+5)}^2}$ =

= $(\frac{5\left(x\text{–}5\right)}{(x+5)\left(x\text{–}5\right)}$ + $\frac{x^2+25}{\left(x\text{–}5\right)(x+5)}$ + $\frac{5(x+5)}{\left(\text{х–}5\right)(x+5)})$ • $\frac{x\text{–}5}{{(x+5)}^2}$ =

= $\frac{5\left(x\text{–}5\right)+x^2+25+5(x+5)}{(x+5)\left(x\text{–}5\right)}$ •  $\frac{x\text{–}5}{{(x+5)}^2}$ =

= $\frac{5x\text{–}25+x^2+25+5x+25}{{(x+5)}^3}$ = $\frac{x^2+10x+25}{{(x+5)}^3}$ = $\frac{{(x+5)}^2}{{(x+5)}^3}=\frac{1}{x+5}$ 

Завдання 9 Відомо, що $\text{х}+\frac{1}{x}=6$. Знайдіть значення виразу.

х² + $\frac{1}{x^2}$ = х² + ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2$ =

= x² + 2 • x • $\frac{1}{x}$ + ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2$ – 2 • x • $\frac{1}{x}$ =

= ${(x+\frac{1}{x})}^2\text{–}2$ = 6² – 2 = 36 – 2 = 34