ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

САМОСТІЙНА РОБОТА №4 [6M]

Тотожні перетворення раціональних виразів. Раціональні рівняння

ВАРІАНТ 3

Завдання 1 Знайдіть корені рівняння.

$\frac{\text{х}+5}{\text{х –}3}=0$

Знаменник не може дорівнювати нулю. ОВР містить усі числа, крім 3.

$\{\begin{array}{c}\text{х}+5=0\\ \text{х –}3\text{≠}0\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x=\text{—}5\\ \text{х ≠}3\end{array}$

x = —5

A 3      Б 3:—5      В 5       Г —5

Завдання 2 Спростіть вираз.

$(\frac{x}{4}+\frac{4}{x}\text{–}2)$ • $\frac{1}{x\text{–}4}$ =

= $(\frac{x\text{•}x}{4\text{•}x}+\frac{4\text{•}4}{x\text{•}4}\text{–}\frac{2\text{•}4x}{4x})$ • $\frac{1}{x\text{–}4}$ =

= $\frac{x^2\text{–}2\text{•}4x+4^2}{4x}$ • $\frac{1}{x\text{–}4}$ =

= $\frac{{\left(x\text{–}4\right)}^2}{4x}$ • $\frac{1}{x\text{–}4}$ = $\frac{x\text{–}4}{4x}$

Завдання 3 Розв'яжіть рівняння.

$\frac{x^2\text{–}25}{x^2+5x}$ = $\frac{x\text{–}5}{x}+\frac{x+3}{x+5}$

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю. ОВР містить усі числа, крім 0 і —5.

$\frac{\left(x\text{–}5\right)(x+5)}{x(x+5)}$ = $\frac{x\text{–}5}{x}+\frac{x+3}{x+5}$

$\frac{x\text{–}5}{x}\text{–}\frac{x\text{–}5}{x}=\frac{x+3}{x+5}$ 

$\frac{x+3}{x+5}=0$

$\{\begin{array}{c}\text{х}+3=0\\ \text{х}+5\text{≠}0\\ \text{х ≠}0\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}3\\ \text{х ≠ —}5\\ \text{х ≠}0\end{array}$

х = —3

Відповідь: —3.

Завдання 4 Доведіть, що значення виразу не залежить від змінної (значенням виразу є число).

$(\frac{a}{a+5}+\frac{5}{a\text{–}5}\text{–}\frac{10a}{a^2\text{–}25})$$(\frac{a}{a+5}+\frac{5}{a\text{–}5}+\frac{10a}{a^2\text{–}25})$

Спростимо перший множник.

$\frac{a}{a+5}+\frac{5}{a\text{–}5}\text{–}\frac{10a}{a^2\text{–}25}$ =

= $\frac{a\left(a\text{–}5\right)}{(a+5)\left(a\text{–}5\right)}$ + $\frac{5(a+5)}{\left(a\text{–}5\right)(a+5)}$ – $\frac{10a}{\left(a\text{–}5\right)(a+5)}$ =

= $\frac{a\left(a\text{–}5\right)+5(a+5)\text{–}10a}{(a+5)\left(a\text{–}5\right)}$ =

= $\frac{a^2\text{–}5a+5a+5^2\text{–}10a}{(a+5)\left(a\text{–}5\right)}$ =

= $\frac{a^2\text{–}2\text{•}5a+5^2}{(a+5)\left(a\text{–}5\right)}$ =

= $\frac{{\left(a\text{–}5\right)}^2}{(a+5)\left(a\text{–}5\right)}$ = $\frac{a\text{–}5}{a+5}$

Спростимо другий множник.

$\frac{a}{a+5}+\frac{5}{a\text{–}5}+\frac{10a}{a^2\text{–}25}$ =

= $\frac{a\left(a\text{–}5\right)}{(a+5)\left(a\text{–}5\right)}$ + $\frac{5(a+5)}{\left(a\text{–}5\right)(a+5)}$ + $\frac{10a}{\left(a\text{–}5\right)(a+5)}$ =

= $\frac{a\left(a\text{–}5\right)+5(a+5)+10a}{(a+5)\left(a\text{–}5\right)}$ =

= $\frac{a^2\text{–}5a+5a+5^2+10a}{(a+5)\left(a\text{–}5\right)}$ =

= $\frac{a^2+2\text{•}5a+5^2}{(a+5)\left(a\text{–}5\right)}$ =

= $\frac{{(a+5)}^2}{(a+5)\left(a\text{–}5\right)}$ = $\frac{a+5}{a\text{–}5}$

Виконаємо множення.

$\frac{a\text{–}5}{a+5}$ • $\frac{a+5}{a\text{–}5}$ = 1

Отже, значення виразу не залежить від числа.