ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

САМОСТІЙНА РОБОТА №4 [6M]

Тотожні перетворення раціональних виразів. Раціональні рівняння

ВАРІАНТ 2

Завдання 1 Знайдіть корені рівняння.

$\frac{\text{х}+4}{\text{х–}2}=0$

Знаменник не може дорівнювати нулю. ОВР містить усі числа, крім 2.

$\{\begin{array}{c}\text{х}+4=0\\ \text{х – 2}\text{≠}0\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x=\text{—}4\\ \text{х ≠}2\end{array}$

x = —4

A 4      Б —4        В —4;2      Г 2

Завдання 2 Спростіть вираз.

$(\frac{x}{5}+\frac{5}{x}\text{–}2)$ • $\frac{1}{x\text{–}5}$ =

= $(\frac{x\text{•}x}{5\text{•}x}+\frac{5\text{•}5}{x\text{•}5}\text{–}\frac{2\text{•}5x}{5x})$ • $\frac{1}{x\text{–}5}$=

= $\frac{x^2\text{–}2\text{•}5x+5^2}{5x}$ • $\frac{1}{x\text{–}5}$ =

= $\frac{{\left(x\text{–}5\right)}^2}{5x}$ • $\frac{1}{x\text{–}5}$ = $\frac{x\text{–}5}{5x}$

Завдання 3 Розв'яжіть рівняння.

$\frac{x^2\text{–}4}{x^2\text{–}2x}$ = $\frac{x+2}{x}+\frac{x+3}{x\text{–}2}$

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю. ОВР містить усі числа, крім 0 і 2.

$\frac{\left(x\text{–}2\right)(x+2)}{x\left(x\text{–}2\right)}$ = $\frac{x+2}{x}+\frac{x+3}{x\text{–}2}$

$\frac{x+2}{x}\text{–}\frac{x+2}{x}=\frac{x+3}{x\text{–}2}$ 

$\frac{x+3}{x\text{–}2}=0$

$\{\begin{array}{c}\text{х}+3=0\\ \text{х –}2\text{≠}0\\ \text{х ≠}0\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}3\\ \text{х ≠}2\\ \text{х ≠}0\end{array}$

х = —3

Відповідь: —3.

Завдання 4 Доведіть, що значення виразу не залежить від змінної (значенням виразу є число).

$(\frac{y}{y+2}+\frac{2}{y\text{–}2}+\frac{4y}{y^2\text{–}4})$$(\frac{y}{y+2}+\frac{2}{y\text{–}2}\text{–}\frac{4y}{y^2\text{–}4})$

Спростимо перший множник.

$\frac{y}{y+2}+\frac{2}{y\text{–}2}+\frac{4y}{y^2\text{–}4}$ =

= $\frac{y\left(y\text{–}2\right)}{(y+2)\left(y\text{–}2\right)}$ + $\frac{2(y+2)}{\left(y\text{–}2\right)(y+2)}$ + $\frac{4y}{\left(y\text{–}2\right)(y+2)}$ =

= $\frac{y\left(y\text{–}2\right)+2(y+2)+4y}{(y+2)\left(y\text{–}2\right)}$ =

= $\frac{y^2\text{–}2y+2y+2^2+4y}{(y+2)\left(y\text{–}2\right)}$ =

= $\frac{y^2+2\text{•}2y+2^2}{(y+2)\left(y\text{–}2\right)}$ =

= $\frac{{(y+2)}^2}{(y+2)\left(y\text{–}2\right)}$ = $\frac{y+2}{y\text{–}2}$

Спростимо другий множник.

$\frac{y}{y+2}+\frac{2}{y\text{–}2}\text{–}\frac{4y}{y^2\text{–}4}$ = 

= $\frac{y\left(y\text{–}2\right)}{(y+2)\left(y\text{–}2\right)}$ + $\frac{2(y+2)}{\left(y\text{–}2\right)(y+2)}$ – $\frac{4y}{\left(y\text{–}2\right)(y+2)}$ =

= $\frac{y\left(y\text{–}2\right)+2(y+2)\text{–}4y}{(y+2)\left(y\text{–}2\right)}$ =

= $\frac{y^2\text{–}2y+2y+2^2\text{–}4y}{(y+2)\left(y\text{–}2\right)}$ =

= $\frac{y^2\text{–}2\text{•}2y+2^2}{(y+2)\left(y\text{–}2\right)}$ =

= $\frac{{\left(y\text{–}2\right)}^2}{(y+2)\left(y\text{–}2\right)}$ = $\frac{y\text{–}2}{y+2}$

Виконаємо множення.

$\frac{y+2}{y\text{–}2}$ • $\frac{y\text{–}2}{y+2}$ = 1

Отже, значення виразу не залежить від числа.