ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

САМОСТІЙНА РОБОТА №4 [6M]

Тотожні перетворення раціональних виразів. Раціональні рівняння

ВАРІАНТ 4

Завдання 1 Знайдіть корені рівняння.

$\frac{\text{х}+2}{\text{х –}7}=0$

Знаменник не може дорівнювати нулю. ОВР містить усі числа, крім 7.

$\{\begin{array}{c}\text{х}+2=0\\ \text{х –}7\text{≠}0\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x=\text{—}2\\ \text{х ≠}7\end{array}$

x = —2

A 2    Б —2;7      В —2     Г 7

Завдання 2 Спростіть вираз.

$(\frac{b}{6}+\frac{6}{b}+2)$ • $\frac{1}{b+6}$ =

= $(\frac{b\text{•}b}{6\text{•}b}+\frac{6\text{•}6}{b\text{•}6}+\frac{2\text{•}6b}{6b})$ • $\frac{1}{b+6}$ =

= $\frac{b^2+2\text{•}6b+6^2}{6b}$ • $\frac{1}{b+6}$ =

= $\frac{{(b+6)}^2}{6b}$ • $\frac{1}{b+6}$ = $\frac{b+6}{6b}$

Завдання 3 Розв'яжіть рівняння.

$\frac{x^2\text{–}16}{x^2+4x}$ = $\frac{x\text{–}4}{x}+\frac{x+7}{x+4}$

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю. ОВР містить усі числа, крім 0 і —4.

$\frac{\left(x\text{–}4\right)(x+4)}{x(x+4)}$ = $\frac{x\text{–}4}{x}+\frac{x+7}{x+4}$

$\frac{x\text{–}4}{x}\text{–}\frac{x\text{–}4}{x}$ = $\frac{x+7}{x+4}$

$\frac{x+7}{x+4}=0$

$\{\begin{array}{c}\text{х}+7=0\\ \text{х}+4\text{≠}0\\ \text{х ≠}0\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}7\\ \text{х ≠ —}4\\ \text{х ≠}0\end{array}$

х = —7

Відповідь: —7.

Завдання 4 Доведіть, що значення виразу не залежить від змінної (значенням виразу є число).

$(\frac{b}{b+4}+\frac{4}{b\text{–}4}\text{–}\frac{8b}{b^2\text{–}16})$$(\frac{b}{b+4}+\frac{4}{b\text{–}4}+\frac{8b}{b^2\text{–}16})$

Спростимо перший множник.

$\frac{b}{b+4}+\frac{4}{b\text{–}4}\text{–}\frac{8b}{b^2\text{–}16}$ =

= $\frac{b\left(b\text{–}4\right)}{(b+4)\left(b\text{–}4\right)}$ + $\frac{4(b+4)}{\left(b\text{–}4\right)(b+4)}$ – $\frac{8b}{\left(b\text{–}4\right)(b+4)}$ =

= $\frac{b\left(b\text{–}4\right)+4(b+4)\text{–}8b}{(b+4)\left(b\text{–}4\right)}$ =

= $\frac{b^2\text{–}4b+4b+4^2\text{–}8b}{(b+4)\left(b\text{–}4\right)}$ =

= $\frac{b^2\text{–}2\text{•}4b+4^2}{(b+4)\left(b\text{–}4\right)}$ =

= $\frac{{\left(b\text{–}4\right)}^2}{(b+4)\left(b\text{–}4\right)}$ = $\frac{b\text{–}4}{b+4}$

Спростимо другий множник.

$\frac{b}{b+4}+\frac{4}{b\text{–}4}+\frac{8b}{b^2\text{–}16}$ =

= $\frac{b\left(b\text{–}4\right)}{(b+4)\left(b\text{–}4\right)}$ + $\frac{4(b+4)}{\left(b\text{–}4\right)(b+4)}$ + $\frac{8b}{\left(b\text{–}4\right)(b+4)}$ =

= $\frac{b\left(b\text{–}4\right)+4(b+4)+8b}{(b+4)\left(b\text{–}4\right)}$ =

= $\frac{b^2\text{–}4b+4b+4^2+8b}{(b+4)\left(b\text{–}4\right)}$ =

= $\frac{b^2+2\text{•}4b+4^2}{(b+4)\left(b\text{–}4\right)}$ =

= $\frac{{(b+4)}^2}{(b+4)\left(b\text{–}4\right)}$ = $\frac{b+4}{b\text{–}4}$

Виконаємо множення.

$\frac{b\text{–}4}{b+4}$ • $\frac{b+4}{b\text{–}4}$ = 1

Отже, значення виразу не залежить від числа.