ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА №2 [3М]

Множення і ділення дробів. Тотожні перетворення раціональних виразів. Раціональні рівняння

ВАРІАНТ 2

Завдання 1

$\frac{12}{c^2}$ • $\frac{c}{3}$ = $\frac{4\text{•}3\text{•}c}{c\text{•}c\text{•}3}=\frac{4}{c}$

A $\frac{c}{4}$     Б $\frac{4}{c}$     В $\frac{36}{c^2}$     Г $\frac{4}{c^2}$

Завдання 2

$\frac{n}{3}\text{:}\frac{n}{4}$ = $\frac{n}{3}$ • $\frac{4}{n}=\frac{4}{3}$

А $\frac{n^2}{12}$    Б $\frac{n}{12}$      В $\frac{3}{4}$      Г $\frac{4}{3}$

Завдання 3 Укажіть рівняння, коренем якого є число 5.

Підставимо значення х = 5 у рівняння і перевіримо правильність рівності.

А $\frac{\text{х –}5}{x}=0$ ($\frac{5–5}{5}=\frac{0}{5}$ = 0, підходить)

Б $\frac{\text{х}}{\text{х –}5}=0$

В $\frac{\text{х}+5}{\text{х –}2}=0$

Г $\frac{\text{х}+2}{x\text{–}3}=0$

Завдання 4 Виконайте дії.

1) —$\frac{2p^2}{15c^2}$ • $\left(\text{—}\frac{3c}{8p^2}\right)$ =

= $\frac{2p^2}{15c^2}$ • $\frac{3c}{8p^2}$ = $\frac{1}{20c}$

2) $\frac{a^2+\mathrm{ab}}{t^2}$ • $\frac{\mathrm{tp}}{a^2+2\mathrm{ab}+b^2}$ =

= $\frac{a(a+b)}{t^2}$ • $\frac{\mathrm{tp}}{{(a+b)}^2}$ = $\frac{\mathrm{ap}}{t(a+b)}$

3) — $\frac{2a^2}{9b^3}$ : $\frac{8a^3}{27b}$ = —$\frac{2a^2}{9b^3}$ • $\frac{27b}{8a^3}$ = —$\frac{3}{4a{b}^2}$

4) $\frac{b^2\text{–}16}{3b+6}$ : $\frac{2b+8}{5b+10}$ =

= $\frac{b^2\text{–}{4}^2}{3(b+2)}$ • $\frac{5(b+2)}{2(b+4)}$ =

= $\frac{\left(b\text{–}4\right)(b+4)}{3}$ • $\frac{5}{2(b+4)}$ =

= $\frac{\left(b\text{–}4\right)\text{•}5}{3\text{•}2}$ = $\frac{5\left(b\text{–}4\right)}{6}$

Завдання 5 Виконайте піднесення до степеня.

1) ${\left(\text{—}\frac{3c^5}{m^2}\right)}^3$= — $\frac{{\left(3c^5\right)}^3}{{\left(m^2\right)}^3}$ =

= — $\frac{3^3{\left(c^5\right)}^3}{{\left(m^2\right)}^3}$ = — $\frac{27c^{15}}{m^6}$

2) ${\left(\frac{c^{3}p}{d^4}\right)}^6$= $\frac{{\left(c^{3}p\right)}^6}{{\left(d^4\right)}^6}$ = $\frac{{\left(c^3\right)}^6{p}^6}{{\left(d^4\right)}^6}$ = $\frac{c^{18}{p}^6}{d^{24}}$

Завдання 6 

1) Розв'яжіть рівняння.

$\frac{2\text{х}+8}{x\text{–}5}=0$

Дріб дорівнює 0, коли чисельник дорівнює 0.

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю, то ОВР містить усі числа, крім 5.

$\{\begin{array}{c}2x+8=0\\ x\text{–}5\text{≠}0\end{array}$    $\{\begin{array}{c}2x=\text{—}8\\ x\text{≠}5\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}8\text{:}2\\ x\text{≠}5\end{array}$      $\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}4\\ x\text{≠}5\end{array}$

х = —4

Відповідь: —4.

2) Розв'яжіть рівняння.

$\frac{3x^2\text{–}12}{x+4}=3x$

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю. ОВР містить усі числа, крім (—4).

$\frac{3x^2\text{–}12}{x+4}\text{–}3x=0$

$\frac{3x^2\text{–}12}{x+4}\text{–}\frac{3x(x+4)}{x+4}=0$

$\frac{3x^2\text{–}12\text{–}3x^2\text{–}12x}{x+4}=0$

$\frac{\text{—}12\text{–}12x}{\text{х}+4}=0$

$\{\begin{array}{c}\text{—}12\text{–}12x=0\\ x+4\text{≠}0\end{array}$     $\{\begin{array}{c}12x=\text{—}12\\ x\text{≠ —}4\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}12\text{:}12\\ x\text{≠ —}4\end{array}$          $\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}1\\ x\text{≠ —}4\end{array}$

x = —1

Відповідь: —1.

Завдання 7 Спростіть вираз.

1) $\left(\frac{3x+2}{3x\text{–}2}\text{–}\frac{3x\text{–}2}{3x+2}\right)$ : $\frac{3x^2}{9x^2\text{–}4}$ =

= $(\frac{(3x+2)(3x+2)}{\left(3x\text{–}2\right)(3x+2)}$ – $\frac{\left(3x\text{–}2\right)\left(3x\text{–}2\right)}{(3x+2)\left(3x\text{–}2\right)})$ • $\frac{9x^2\text{–}4}{3x^2}$ =

= $(\frac{{(3x+2)}^2}{\left(3x\text{–}2\right)(3x+2)}$ – $\frac{{\left(3x\text{–}2\right)}^2}{(3x+2)\left(3x\text{–}2\right)})$ • $\frac{{\left(3x\right)}^2\text{–}{2}^2}{3x^2}$ =

= $\frac{{(3x+2)}^2\text{–}{\left(3x\text{–}2\right)}^2}{\left(3x\text{–}2\right)(3x+2)}$ • $\frac{\left(3x\text{–}2\right)(3x+2)}{3x^2}$ =

= $\frac{{(3x+2)}^2\text{–}{\left(3x\text{–}2\right)}^2}{3x^2}$ = $\frac{(3x+2\text{–}(3x\text{–}2\left)\right)(3x+2+(3x\text{–}2\left)\right)}{3x^2}$ =

= $\frac{(3x+2\text{–}3x+2)\text{•}(3x+2+3x\text{–}2)}{3x^2}$ = $\frac{4\text{•}6x}{3x^2}=\frac{8}{x}$

Завдання 8 Доведіть тотожність.

$(\frac{5}{y+5}\text{–}\frac{5}{5\text{–}y}$ + $\frac{y^2+25}{y^2\text{–}25})$ • $\frac{y+5}{y^2+10y+25}$ = $\frac{1}{y\text{–}5}$
$(\frac{5}{y+5}\text{–}\frac{5}{5\text{–}y}$ + $\frac{y^2+25}{\left(y\text{–}5\right)(y+5)})$ • $\frac{y+5}{{(y+5)}^2}$= 
= $(\frac{5\left(y\text{–}5\right)}{(y+5)\left(y\text{–}5\right)}$ +$\frac{5(y+5)}{\left(y\text{–}5\right)(y+5)}$ + $\frac{y^2+25}{\left(y\text{–}5\right)(y+5)})$ • $\frac{1}{y+5}$ = 
= $\frac{5\left(y\text{–}5\right)+5(y+5)+y^2+25}{\left(y\text{–}5\right)(y+5)}$ • $\frac{1}{y+5}$ = $\frac{5y\text{–}25+5y+25+y^2+25}{\left(y\text{–}5\right){(y+5)}^2}$ =
= $\frac{y^2+10y+25}{\left(y\text{–}5\right){(y+5)}^2}$ = $\frac{{(y+5)}^2}{\left(y\text{–}5\right){(y+5)}^2}$ = $\frac{1}{y\text{–}5}$

Завдання 9 Відомо, що $\frac{\text{х –}1}{x}=2$. Знайдіть значення виразу.

х² + $\frac{1}{x^2}$ = х² + ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2$ =

= x² – 2 • x • $\frac{1}{x}$ + ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2$ + 2 • x • $\frac{1}{x}$ =

= ${\left(x\text{–}\frac{1}{x}\right)}^2$ + 2 = 2² + 2 = 4 + 2 = 6