ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

САМОСТІЙНА РОБОТА №4 [6M]

Тотожні перетворення раціональних виразів. Раціональні рівняння

ВАРІАНТ 1

Завдання 1 Знайдіть корені рівняння.

$\frac{\text{х}+3}{\text{х – 1}}=0$

Знаменник не може дорівнювати нулю. ОВР містить усі числа, крім 1.

$\{\begin{array}{c}\text{х}+3=0\\ \text{х – 1}\text{≠}0\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x=\text{—}3\\ \text{х ≠}1\end{array}$

A —3    Б 1    В —3;1    Г 3  

Завдання 2 Спростіть вираз.

$(\frac{a}{3}+\frac{3}{a}+2)$ • $\frac{1}{a+3}$ =
= $(\frac{a\text{•}a}{3\text{•}a}+\frac{3\text{•}3}{a\text{•}3}+\frac{2\text{•}3a}{3a})$ • $\frac{1}{a+3}$ =
= $\frac{a^2+2\text{•}3a+3^2}{3a}$ • $\frac{1}{a+3}$ =
= $\frac{{(a+3)}^2}{3a}$ • $\frac{1}{a+3}$ = $\frac{a+3}{3a}$

Завдання 3 Розв'яжіть рівняння.

$\frac{x^2\text{–}9}{x^2+3x}$ = $\frac{x\text{–}3}{x}+\frac{x+2}{x+3}$

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю. ОВР містить усі числа, крім 0, —3. 

$\frac{\left(x\text{–}3\right)(x+3)}{x(x+3)}$ = $\frac{x\text{–}3}{x}+\frac{x+2}{x+3}$
$\frac{x\text{–}3}{x}\text{–}\frac{x\text{–}3}{x}$ = $\frac{x+2}{x+3}$
$\frac{x+2}{x+3}=0$

$\{\begin{array}{c}\text{х}+2=0\\ \text{х}+3\text{≠}0\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}2\\ \text{х ≠ —}3\\ \text{х ≠}0\end{array}$

х = —2

Відповідь: —2.

Завдання 4 Доведіть, що значення виразу не залежить від змінної (значенням виразу є число).

$(\frac{\text{х}}{x+3}+\frac{3}{x\text{–}3}+\frac{6x}{x^2\text{–}9})$$(\frac{\text{х}}{\text{х}+3}+\frac{3}{x\text{–}3}\text{–}\frac{6x}{x^2\text{–}9})$ 
Спростимо перший множник.
$\frac{\text{х}}{x+3}+\frac{3}{x\text{–}3}+\frac{6x}{x^2\text{–}9}$ =
= $\frac{x\left(x\text{–}3\right)}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ + $\frac{3(x+3)}{\left(x\text{–}3\right)(x+3)}$ + $\frac{6x}{\left(x\text{–}3\right)(x+3)}$ =
= $\frac{x\left(x\text{–}3\right)+3(x+3)+6x}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ = $\frac{x^2\text{–}3x+3x+3^2+6x}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ =
= $\frac{x^2+2\text{•}3x+3^2}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ =  $\frac{{(x+3)}^2}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ = $\frac{x+3}{x\text{–}3}$
Спростимо другий множник.
$\frac{\text{х}}{\text{х}+3}+\frac{3}{x\text{–}3}\text{–}\frac{6x}{x^2\text{–}9}$ =
= $\frac{x\left(x\text{–}3\right)}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ + $\frac{3(x+3)}{\left(x\text{–}3\right)(x+3)}$ – $\frac{6x}{\left(x\text{–}3\right)(x+3)}$ =
= $\frac{x\left(x\text{–}3\right)+3(x+3)\text{–}6x}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ = $\frac{x^2\text{–}3x+3x+3^2\text{–}6x}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ =
= $\frac{x^2\text{–}2\text{•}3x+3^2}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ =  $\frac{{\left(x\text{–}3\right)}^2}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ = $\frac{x\text{–}3}{x+3}$
Виконаємо множення.
$\frac{x+3}{x\text{–}3}$ • $\frac{x\text{–}3}{x+3}$ = 1
Отже, значення виразу не залежить від числа.