ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА №2 [3М]

Множення і ділення дробів. Тотожні перетворення раціональних виразів. Раціональні рівняння

ВАРІАНТ 3

Завдання 1

$\frac{12}{b^2}$ • $\frac{b}{4}$ = $\frac{4\text{•}3\text{•}b}{b\text{•}b\text{•}4}=\frac{3}{b}$

A $\frac{3}{b}$    Б $\frac{b}{3}$     В $\frac{48}{b^3}$     Г $\frac{3}{b^2}$

Завдання 2

$\frac{p}{2}\text{:}\frac{p}{3}=\frac{p}{2}$ • $\frac{3}{p}=\frac{3}{2}$

А $\frac{p^2}{6}$      Б $\frac{2}{3}$      В $\frac{3}{2}$      Г $\frac{p}{6}$

Завдання 3 Укажіть рівняння, коренем якого є число 3.

Підставимо значення х = 3 у рівняння і перевіримо правильність рівності.

А $\frac{\text{х}+3}{\text{х –}1}=0$ ($\frac{3+3}{3\text{–}1}=\frac{6}{2}$ ≠ 0, не підходить)

Б $\frac{\text{х–}3}{x}=0$ ($\frac{3\text{–}3}{3}$= 0 підходить)

В $\frac{\text{х}}{\text{х–}3}=0$

Г $\frac{\text{х}+1}{x\text{–}2}=0$

Завдання 4 Виконайте дії.

1) —$\frac{2p^2}{25c^2}$ • $\frac{5c}{6p^2}$ = —$\frac{2p^2\text{•}5c}{5\text{•}5c^2\text{•}3\text{•}2p^2}$ = —$\frac{1}{15c}$

2) $\frac{a^2\text{–}2\mathrm{ab}+b^2}{\mathrm{cd}}$ • $\frac{d^2}{\mathrm{ba}\text{–}{b}^2}$ =

= $\frac{{\left(a\text{–}b\right)}^2}{c}$ • $\frac{d}{b\left(a\text{–}b\right)}$ = $\frac{d\left(a\text{–}b\right)}{\mathrm{cb}}$

3) — $\frac{3m^2}{7p^3}$ : $\left(\text{—}\frac{9m^3}{35p}\right)$ = $\frac{3m^2}{7p^3}$ : $\frac{9m^3}{35p}$ =

= $\frac{3m^2}{7p^3}$ • $\frac{35p}{9m^3}$ = $\frac{5}{3m{p}^2}$

4) $\frac{n^2\text{–}9}{3n\text{–}12}$ : $\frac{2n+6}{5n\text{–}20}$ = $\frac{n^2\text{–}{3}^2}{3\left(n\text{–}4\right)}$ • $\frac{5\left(n\text{–}4\right)}{2(n+3)}$ =

= $\frac{\left(n\text{–}3\right)(n+3)}{3}$ • $\frac{5}{2(n+3)}$ =

= $\frac{\left(n\text{–}3\right)\text{•}5}{3\text{•}2}$ = $\frac{5\left(n\text{–}3\right)}{6}$

Завдання 5 Виконайте піднесення до степеня.

1) ${\left(\text{—}\frac{c^3}{2p^2}\right)}^3$ = $\text{—}\frac{{\left(c^3\right)}^3}{{\left(2p2\right)}^3}$ = $\text{—}\frac{{\left(c^3\right)}^3}{2^3{\left(p^2\right)}^3}$ = $\text{—}\frac{c^9}{8p^6}$

2) ${\left(\frac{x^3}{c^{2}p}\right)}^6$ = $\frac{{\left(x^3\right)}^6}{{\left(c^{2}p\right)}^6}$ = $\frac{x^{18}}{{\left(c^2\right)}^6{p}^6}$ = $\frac{x^{18}}{c^{12}{p}^6}$

Завдання 6 Розв'яжіть рівняння.

1) $\frac{2\text{х}+10}{x\text{–}4}=0$

Дріб дорівнює 0, коли чисельник дорівнює 0.

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю, то ОВР містить усі числа, крім 4.

$\{\begin{array}{c}2x+10=0\\ x\text{–}4\text{≠}0\end{array}$     $\{\begin{array}{c}2x=\text{—}10\\ x\text{≠}4\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}10\text{:}2\\ x\text{≠}4\end{array}$      $\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}5\\ x\text{≠}4\end{array}$

х = —5

Відповідь: —5.

2) $\frac{5x^2+15}{x\text{–}1}=5x$

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю. ОВР містить усі числа, крім (—1).

$\frac{5x^2+15}{x\text{–}1}\text{–}5x=0$

$\frac{5x^2+15}{x\text{–}1}$ – $\frac{5x\left(x\text{–}1\right)}{x\text{–}1}$ = 0

$\frac{5x^2+15\text{–}5x^2+5x}{x\text{–}1}$ = 0

$\frac{15+5x}{\text{х–}1}=0$

$\{\begin{array}{c}15+5x=0\\ x\text{–}1\text{≠}0\end{array}$    $\{\begin{array}{c}5x=\text{—}15\\ x\text{≠}1\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}15\text{:}5\\ x\text{≠}1\end{array}$      $\{\begin{array}{c}\text{х}=\text{—}3\\ x\text{≠}1\end{array}$

x = —3

Відповідь: —3.

Завдання 7 Спростіть вираз.

1) $\left(\frac{4m+1}{4m\text{–}1}\text{–}\frac{4m\text{–}1}{4m+1}\right)$ : $\frac{2m^2}{16m^2\text{–}1}$ =

= $(\frac{(4m+1)(4m+1)}{\left(4m\text{–}1\right)(4m+1)}$ – $\frac{\left(4m\text{–}1\right)\left(4m\text{–}1\right)}{(4m+1)\left(4m\text{–}1\right)})$ • $\frac{16m^2\text{–}1}{2m^2}$ =

= $(\frac{{(4m+1)}^2}{16m^2\text{–}1}$ – $\frac{{\left(4m\text{–}1\right)}^2}{16m^2\text{–}1})$ • $\frac{16m^2\text{–}1}{2m^2}$ =

= $\frac{{(4m+1)}^2\text{–}{\left(4m\text{–}1\right)}^2}{16m^2\text{–}1}$ • $\frac{16m^2\text{–}1}{2m^2}$ =

= $\frac{{(4m+1)}^2\text{–}{\left(4m\text{–}1\right)}^2}{2m^2}$ =

= $\frac{(4m+1\text{–}(4m\text{–}1\left)\right)(4m+1+(4m\text{–}1\left)\right)}{2m^2}$ =

= $\frac{(4m+1\text{–}4m+1)\text{•}(4m+1+4m\text{–}1))}{2m^2}$ =

= $\frac{2\text{•}8m}{2m^2}=\frac{8}{m}$

Завдання 8 Доведіть тотожність.

$(\frac{3}{x+3}$ + $\frac{x^2+9}{x^2\text{–}9}$ – $\frac{3}{3\text{–}x})$ • $\frac{x\text{–}3}{x^2+6x+9}$ = $\frac{1}{x+3}$

$(\frac{3}{x+3}$ + $\frac{x^2+9}{x^2\text{–}9}$ – $\frac{3}{3\text{–}x})$ • $\frac{x\text{–}3}{x^2+6x+9}$ =

= $(\frac{3\left(x\text{–}3\right)}{(x+3)\left(x\text{–}3\right)}$ + $\frac{x^2+9}{\left(x\text{–}3\right)(x+3)}$ + $\frac{3(x+3)}{\left(\text{х–}3\right)(x+3)})$ • $\frac{x\text{–}3}{{(x+3)}^2}$ =

= $\frac{3\left(x\text{–}3\right)+x^2+9+3(x+3)}{\left(\text{х–}3\right)(x+3)}$ • $\frac{x\text{–}3}{{(x+3)}^2}$ =

= $\frac{3x\text{–}9+x^2+9+3x+9}{{(x+3)}^3}$ = $\frac{x^2+6x+9}{(x+3)}$ =

= $\frac{{(x+3)}^2}{{(x+3)}^3}$ = $\frac{1}{x+3}$

Завдання 9 Відомо, що $\text{х}+\frac{1}{x}=5$. Знайдіть значення виразу.

х² + $\frac{1}{x^2}$ = х² + ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2$ =

= x² – 2 • x • $\frac{1}{x}$ + ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2$ + 2 • x • $\frac{1}{x}$ =

= ${\left(x\text{–}\frac{1}{x}\right)}^2$ + 2 = 5² + 2 = 25 + 2 = 27