ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА № 1 [1М]

Дробові вирази. Основна властивість дробу. Додавання і віднімання дробів

ВАРІАНТ 4

Завдання 1 Укажіть вираз, що є дробовим.

Дробовий вираз містить ділення на вираз зі змінною.

А $\frac{1}{3}$m²p      Б m + 5       В $\frac{m+5}{3}$     Г $\frac{3}{m+5}$

Завдання 2 Скоротіть дріб.

$\frac{9\mathrm{at}}{9\mathrm{ma}}=\frac{t}{m}$

А $\frac{t}{m}$     Б $\frac{9t}{m}$     В $\frac{t}{9m}$      Г $\frac{\mathrm{at}}{\mathrm{ma}}$

Завдання 3 Виконайте дію віднімання.

$\frac{3}{x}\text{–}\frac{y}{7}$ = $\frac{7\text{•}3}{7x}\text{–}\frac{\mathrm{yx}}{7x}$ = $\frac{21}{7x}\text{–}\frac{\mathrm{xy}}{7x}$ = $\frac{21\text{–}\mathrm{xy}}{7x}$

А $\frac{3\text{–}y}{x\text{–}7}$     Б $\frac{3x\text{–}7y}{7x}$     В $\frac{21\text{–}\mathrm{xy}}{7x}$     Г $\frac{21+\mathrm{xy}}{7x}$

Завдання 4 Знайдіть допустимі значення змінної у виразі.

1) $\frac{2}{p(p+3)}$

Знаменник не може дорівнювати нулю.

$\{\begin{array}{c}p\text{≠}0\\ p+3\text{≠}0\end{array}$

$\{\begin{array}{c}p\text{≠}0\\ p\text{≠ —}3\end{array}$

Відповідь: p≠0 і p≠—3

2) $\frac{2x}{x\text{–}5}+\frac{7}{x+2}$

Знаменник не може дорівнювати нулю.

$\{\begin{array}{c}x\text{–}5\text{≠}0\\ x+2\text{≠}0\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x\text{≠}5\\ x\text{≠ —}2\end{array}$

Відповідь: x ≠ —2 і x ≠ 5

Завдання 5 Скоротіть дріб.

1) $\frac{12\mathrm{am}}{18\mathrm{mb}}$ = $\frac{6\text{•}2\text{•}\mathrm{am}}{6\text{•}3\text{•}\mathrm{mb}}$ = $\frac{2a}{3b}$

2) $\frac{25\mathrm{cd}}{20d^{2}p}$ = $\frac{5\text{•}5\text{•}\mathrm{cd}}{5\text{•}4\text{•}\mathrm{dp}\text{•}d}$ = $\frac{5c}{4\mathrm{dp}}$

3) $\frac{2x+6}{x^2\text{–}9}$ = $\frac{2(x+3)}{\left(x\text{–}3\right)(x+3)}$ = $\frac{2}{x\text{–}3}$

4) $\frac{\mathrm{pm}\text{–}3p}{m^2\text{–}6m+9}$ = $\frac{p\left(m\text{–}3\right)}{m^2\text{–}2\text{•}m\text{•}3+3^2}$ = $\frac{p\left(m\text{–}3\right)}{{\left(m\text{–}3\right)}^2}$ = $\frac{p}{m\text{–}3}$

Завдання 6 Виконайте дію.

1) $\frac{7x}{x\text{–}y}+\frac{7y}{y\text{–}x}$ = $\frac{7x}{x\text{–}y}\text{–}\frac{7y}{x\text{–}y}$ = $\frac{7x\text{–}7y}{x\text{–}y}$ = $\frac{7\left(x\text{–}y\right)}{x\text{–}y}$ = 7

2) $\frac{5p+a}{p^{2}a}$ + $\frac{p\text{–}5a}{p{a}^2}$ = $\frac{a(5p+a)}{a\text{•}{p}^{2}a}$ + $\frac{p\left(p\text{–}5a\right)}{p\text{•}p{a}^2}$ =

= $\frac{a(5p+a)+p(p-5a)}{p^2{a}^2}$ = $\frac{5\mathrm{ap}+a^2+p^2\text{–}5\mathrm{pa}}{p^2{a}^2}$ = $\frac{a^2+p^2}{a^2{p}^2}$

Завдання 7 Спростіть вираз.

$\frac{2m}{m\text{–}7}\text{–}\frac{7}{m+7}$ + $\frac{2m^2}{49\text{–}{m}^2}$ = $\frac{2m}{m\text{–}7}\text{–}\frac{7}{m+7}$ – $\frac{2m^2}{m^2\text{–}49}$ =

= $\frac{2m(m+7)}{\left(m\text{–}7\right)(m+7)}$ – $\frac{7\left(m\text{–}7\right)}{(m+7)\left(m\text{–}7\right)}$ – $\frac{2m^2}{\left(m\text{–}7\right)(m+7)}$ =

= $\frac{2m(m+7)\text{–}7\left(m\text{–}7\right)\text{–}2m^2}{\left(m\text{–}7\right)(m+7)}$ = $\frac{2m^2+14m\text{–}7m+49\text{–}2m^2}{\left(m\text{–}7\right)(m+7)}$=

= $\frac{7m+49}{\left(m\text{–}7\right)(m+7)}$= $\frac{7(m+7)}{\left(m\text{–}7\right)(m+7)}$ = $\frac{7}{m\text{–}7}$

Завдання 8 Подайте у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу.

Цілий вираз не містить ділення на змінну, дріб має ділення на змінну.

1) $\frac{x^3+7x^4\text{–}2}{x^3}$ = $\frac{x^3+7x^4}{x^3}$ – $\frac{2}{x^3}$ =

= $\frac{x^3(1+7x)}{x^3}$ – $\frac{2}{x^3}$ = 7x + 1 – $\frac{2}{x^3}$

2) $\frac{p^2\text{–}p\text{–}3}{p\text{–}1}$ = $\frac{p^2\text{–}p}{p\text{–}1}$ – $\frac{3}{p\text{–}1}$ =

= $\frac{p\left(p\text{–}1\right)}{p\text{–}1}$ – $\frac{3}{p\text{–}1}$ = p – $\frac{3}{p\text{–}1}$

Завдання 9 Побудуйте графік функції $\text{у}=\frac{x^2\text{–}5x}{25\text{–}5x}$

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю.

25 – 5x ≠ 0

5х ≠ 25

х ≠ 25 : 5 ≠ 5

Областю визначення є множина всіх чисел, крім числа 5.

Зробимо тотожні перетворення.

$\frac{x^2\text{–}5\text{х}}{25\text{–}5x}$ = $\frac{\text{х}\left(x\text{–}5\right)}{\left(\text{—}5\right)\left(x\text{–}5\right)}$ = — $\frac{\text{х}\left(\text{х–}5\right)}{5\left(\text{х–}5\right)}$ = —$\frac{x}{5}$ = —$\frac{1}{5}$х

Маємо графік функції.

y = —$\frac{1}{5}$х, де х ≠ 5.

у(5) = —$\frac{1}{5}$ • 5 = —1

Точка (5; —1) не належить графіку.

Графік прямої виду у = kx. Графік проходить через початок координат у ІІ і ІV чвертях.

Для побудови прямої треба мати дві точки.

x	0	—5
y	0	1