ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА № 1 [1М]

Дробові вирази. Основна властивість дробу. Додавання і віднімання дробів

ВАРІАНТ 3

Завдання 1 Укажіть вираз, що є дробовим.

Дробовий вираз містить ділення на вираз зі змінною.

А $\frac{7}{\text{х–}2}$     Б $\frac{\text{х–}2}{7}$       В х – 2     Г $\frac{1}{7}$х²y

Завдання 2 Скоротіть дріб.

$\frac{4\mathrm{by}}{4\mathrm{yt}}=\frac{b}{t}$

А $\frac{4b}{t}$       Б $\frac{b}{4t}$     В $\frac{b}{t}$      Г $\frac{\mathrm{by}}{\mathrm{yt}}$

Завдання 3 Виконайте дію віднімання.

$\frac{4}{x}\text{–}\frac{m}{5}$ = $\frac{4\text{•}5}{5x}\text{–}\frac{\mathrm{mx}}{5x}$ = $\frac{20}{5x}\text{–}\frac{\mathrm{mx}}{5x}$ = $\frac{20\text{–}\mathrm{mx}}{5x}$

А $\frac{4x\text{–}5m}{5x}$     Б $\frac{20\text{–}\mathrm{xm}}{5x}$     В $\frac{4\text{–}m}{x\text{–}5}$     Г $\frac{20+\mathrm{xm}}{5x}$

Завдання 4 Знайдіть допустимі значення змінної у виразі.

1) $\frac{9}{b\left(b\text{–}3\right)}$

Знаменник не може дорівнювати нулю.

$\{\begin{array}{c}b\text{≠}0\\ b\text{–}3\text{≠}0\end{array}$

$\{\begin{array}{c}b\text{≠}0\\ b\text{≠}3\end{array}$

Відповідь: b≠0 і b≠3

2) $\frac{3n}{n+1}+\frac{7}{n\text{–}3}$

Знаменник не може дорівнювати нулю.

$\{\begin{array}{c}n+1\text{≠}0\\ n\text{–}3\text{≠}0\end{array}$

$\{\begin{array}{c}n\text{≠ —}1\\ n\text{≠}3\end{array}$

Відповідь: n ≠ —1 і n ≠ 3

Завдання 5 Скоротіть дріб.

1) $\frac{15\mathrm{ck}}{20\mathrm{kd}}$ = $\frac{5\text{•}3\text{•}\mathrm{ck}}{5\text{•}4\text{•}\mathrm{kd}}$ = $\frac{3c}{4d}$

2) $\frac{16b{y}^2}{12\mathrm{yc}}$ = $\frac{4\text{•}4\text{•}\mathrm{by}\text{•}y}{4\text{•}3\text{•}y\text{•}c}$ = $\frac{4\mathrm{by}}{3c}$

3) $\frac{2c\text{–}6}{c^2\text{–}9}$ = $\frac{2\left(c\text{–}3\right)}{(c+3)\left(c\text{–}3\right)}$ = $\frac{2}{c+3}$

4) $\frac{\mathrm{xb}+2x}{b^2+4b+4}$ = $\frac{x(b+2)}{b^2+2\text{•}b\text{•}2+2^2}$ = $\frac{x(b+2)}{{(b+2)}^2}$ = $\frac{x}{b+2}$

Завдання 6 Виконайте дію.

1) $\frac{3m}{m\text{–}n}+\frac{3n}{n\text{–}m}$ = $\frac{3m}{m\text{–}n}\text{–}\frac{3n}{m\text{–}n}$ = $\frac{3m\text{–}3n}{m\text{–}n}$ = $\frac{3\left(m\text{–}n\right)}{m\text{–}n}$ = 3

2) $\frac{2x+y}{x^{2}y}$ + $\frac{x\text{–}2y}{x^2}$ = $\frac{y(2x+y)}{y\text{•}{x}^{2}y}$ + $\frac{x\left(x\text{–}2y\right)}{x\text{•}x{y}^2}$ =

= $\frac{y(2x+y)+x(x–2y)}{x^2{y}^2}$ = $\frac{2\mathrm{yx}+y^2+x^2\text{–}2\mathrm{xy}}{x^2{y}^2}$ = $\frac{x^2+y^2}{x^2{y}^2}$

Завдання 7 Спростіть вираз.

$\frac{2x}{x\text{–}5}+\frac{x}{x+5}$ + $\frac{2x^2}{25\text{–}{x}^2}$ = $\frac{2x}{x\text{–}5}+\frac{x}{x+5}$ – $\frac{2x^2}{x^2\text{–}25}$ =

= $\frac{2x}{x\text{–}5}+\frac{x}{x+5}$ – $\frac{2x^2}{\left(x\text{–}5\right)(x+5)}$ =

= $\frac{2x(x+5)}{\left(x\text{–}5\right)(x+5)}$ + $\frac{x\left(x\text{–}5\right)}{(x+5)\left(x\text{–}5\right)}$ – $\frac{2x^2}{\left(x\text{–}5\right)(x+5)}$ =

=$\frac{2x(x+5)+x\left(x\text{–}5\right)\text{–}2x^2}{\left(x\text{–}5\right)(x+5)}$ = $\frac{2x^2+10x+x^2\text{–}5x\text{–}2x^2}{\left(x\text{–}5\right)(x+5)}$ =

= $\frac{5x+x^2}{\left(x\text{–}5\right)(x+5)}$ = $\frac{x(5+x)}{\left(x\text{–}5\right)(x+5)}$ = $\frac{x}{x\text{–}5}$

Завдання 8 Подайте у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу.

Цілий вираз не містить ділення на змінну, дріб має ділення на змінну.

1) $\frac{p^2+2p^3\text{–}11}{p^2}$ = $\frac{p^2+2p^3}{p^2}$ – $\frac{11}{p^2}$ =

= $\frac{p^2(1+2p)}{p^2}$ – $\frac{11}{p^2}$ = 2p + 1 – $\frac{11}{p^2}$

2) $\frac{t^2\text{–}t\text{–}5}{t\text{–}1}$ = $\frac{t^2\text{–}t}{t\text{–}1}$ – $\frac{5}{t\text{–}1}$ =

= $\frac{t\left(t\text{–}1\right)}{t\text{–}1}$ – $\frac{5}{t\text{–}1}$ = t – $\frac{5}{t\text{–}1}$

Завдання 9 Побудуйте графік функції $\text{у}=\frac{4x\text{–}{x}^2}{2x\text{–}8}$

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю.

2х – 8 ≠ 0

2х ≠ 8

х ≠ 8 : 2 ≠ 4

Областю визначення є множина всіх чисел, крім числа 4.

Зробимо тотожні перетворення.

$\frac{4\text{х–}{x}^2}{2\text{х–}8}$ = $\frac{\text{х}\left(4\text{–х}\right)}{2\left(\text{х–}4\right)}$ = —$\frac{\text{х}\left(4\text{–}x\right)}{2\left(4\text{–}x\right)}$ = —$\frac{\text{х}}{2}$ = —$\frac{1}{2}$х

Маємо графік функції.

y = —$\frac{1}{2}$х, де х ≠ 2.

у(2) = —$\frac{1}{2}$ • 2 = —1

Точка (2; —1) не належить графіку.

Графік прямої виду у = kx. Графік проходить через початок координат у ІІ і ІV чвертях.

Для побудови прямої треба мати дві точки.

x	0	—4
y	0	2