ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА № 1 [1М]

Дробові вирази. Основна властивість дробу. Додавання і віднімання дробів

ВАРІАНТ 1

Завдання 1 Укажіть вираз, що є дробовим.

Дробовий вираз містить ділення на вираз зі змінною.

А х – 7     Б $\frac{x^7}{4}$    В $\frac{4}{x^7}$    Г $\frac{1}{4}{\text{х}}^{2}m$ 

Завдання 2 Скоротіть дріб.

$\frac{7\mathrm{ax}}{7\mathrm{xm}}=\frac{a}{m}$

А $\frac{7a}{m}$    Б $\frac{a}{m}$     В $\frac{a}{7m}$     Г $\frac{\mathrm{ax}}{\mathrm{xm}}$ 

Завдання 3 Виконайте дію віднімання.

$\frac{a}{2}\text{–}\frac{5}{c}$ = $\frac{\mathrm{ac}}{2c}\text{–}\frac{2\text{•}5}{2c}$ = $\frac{\mathrm{ac}}{2c}\text{–}\frac{10}{2c}$ = $\frac{\mathrm{ac}\text{–}10}{2c}$

А $$\begin{gathered} \frac{a5 \\ }{2c \\ } \end{gathered}$$   Б $$\begin{gathered} \frac{2a5c \\ }{2c} \end{gathered}$$    В  $$\begin{gathered} \frac{\mathrm{ac}+10 \\ }{2c} \end{gathered}$$     Г  $\frac{\mathrm{ac}\text{–}10}{2c}$ 

Завдання 4 Знайдіть допустимі значення змінної у виразі.

1) $\frac{7}{a\left(a\text{–}2\right)}$

Знаменник не може дорівнювати нулю. 

a≠0

і

a – 2 ≠ 0 a ≠ 2

Відповідь: a≠0 і a≠2

2) $\frac{2x}{\text{х}+3}+\frac{7}{x\text{–}4}$   

Знаменник не може дорівнювати нулю.

х + 3 ≠ 0 х ≠ —3

і

х – 4 ≠ 0 х ≠ 4

Відповідь: х ≠ —3 і х ≠ 4

Завдання 5 Скоротіть дріб.

1) $\frac{20\text{ар}}{25\mathrm{pb}}$ = $\frac{5\text{•}4\text{•}\mathrm{ap}}{5\text{•}5\text{•}\mathrm{pb}}$ = $\frac{4a}{5b}$

2) $\frac{15x^2}{10\mathrm{xb}}$ = $\frac{5\text{•}3\text{•}\mathrm{ax}\text{•}x}{5\text{•}2\text{•}x\text{•}b}$ = $\frac{3\mathrm{ax}}{2b}$

3) $\frac{3x\text{–}6}{x^2\text{–}4}$ = $\frac{3\left(x\text{–}2\right)}{(x+2)\left(x\text{–}2\right)}=\frac{3}{x+2}$

4) $\frac{\mathrm{ab}+3a}{b^2+6b+9}$ = $\frac{a(b+3)}{b^2+2\text{•}b\text{•}3+3^2}$ = $\frac{a(b+3)}{{(b+3)}^2}$ = $\frac{a}{b+3}$

Завдання 6 Виконайте дію.

1) $\frac{5\text{р}}{p\text{–}q}+\frac{5q}{q\text{–}p}$ = $\frac{5p}{p\text{–}q}+\frac{5q}{\left(\text{—}1\right)\left(p\text{–}q\right)}$ =
= $\frac{5p}{p\text{–}q}\text{–}\frac{5q}{p\text{–}q}$ = $\frac{5p\text{–}5q}{p\text{–}q}$ = $\frac{5\left(p\text{–}q\right)}{p\text{–}q}$ = 5 

2) $\frac{3m+n}{m^{2}n}$ + $\frac{m\text{–}3n}{m{n}^2}$ = $\frac{n\text{•}(3m+n)}{n\text{•}{m}^{2}n}$ + $\frac{m\text{•}\left(m\text{–}3n\right)}{m\text{•}m{n}^2}$ = 
= $\frac{3\mathrm{nm}+n^2+m^2\text{–}3\mathrm{mn}}{m^2{n}^2}$ = $\frac{n^2+m^2}{m^2{n}^2}$

Завдання 7 Спростіть вираз.

$\frac{2m}{m\text{–}3}$ + $\frac{m}{m+3}$ + $\frac{2m^2}{9\text{–}{m}^2}$ = $\frac{2m}{m\text{–}3}$ + $\frac{m}{m+3}$ – $\frac{2m^2}{\left(9\text{–}{m}^2\right)}$ =
= $\frac{2m}{m\text{–}3}$ + $\frac{m}{m+3}$ – $\frac{2m^2}{\left(m\text{–}3\right)(m+3)}$ =
= $\frac{2m(m+3)}{\left(m\text{–}3\right)(m+3)}$ + $\frac{m\left(m\text{–}3\right)}{(m+3)\left(m\text{–}3\right)}$ – $\frac{2m^2}{\left(m\text{–}3\right)(m+3)}$ =
= $\frac{2m(m+3)+m\left(m\text{–}3\right)\text{–}2m^2}{\left(m\text{–}3\right)(m+3)}$ = $\frac{2m^2+6m+m^2\text{–}3m\text{–}2m^2}{\left(m\text{–}3\right)(m+3)}$ =

= $\frac{3m+m^2}{\left(m\text{–}3\right)(m+3)}$ = $\frac{m(3+m)}{\left(m\text{–}3\right)(m+3)}=\frac{m}{m\text{–}3}$

Завдання 8 Подайте у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу.

Цілий вираз не містить ділення на змінну, дріб має ділення на змінну. 

1) $\frac{m^2+3m^3\text{–}9}{m^2}$ = $\frac{m^2+3m^3}{m^2}$ – $\frac{9}{m^2}$ =
= $\frac{m^2(1+3m)}{m^2}$ – $\frac{9}{m^2}$ = 3m + 1 – $\frac{9}{m^2}$

2) $\frac{x^2+x\text{–}3}{x+1}$ = $\frac{x^2+x}{x+1}$ – $\frac{3}{x+1}$ =
= $\frac{x(x+1)}{x+1}$ – $\frac{3}{x+1}$ = x – $\frac{3}{x+1}$

Завдання 9 Побудуйте графік функції $\text{у}=\frac{2x\text{–}{x}^2}{2x\text{–}4}$   

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю.

2х – 4 ≠ 0

2х ≠ 4

х ≠ 4 : 2

х ≠ 2

Областю визначення є множина всіх чисел, крім числа 2.

Зробимо тотожні перетворення.

$\frac{2\text{х–}{x}^2}{2\text{х–}4}$ = $\frac{\text{х}\left(2\text{–х}\right)}{2\left(\text{х–}2\right)}$ = —$\frac{\text{х}\left(\text{х–}2\right)}{2\left(\text{х–}2\right)}$ = —$\frac{\text{х}}{2}$ = —$\frac{1}{2}$х

Маємо графік функції.

y = — $\frac{1}{2}$ х, де х ≠ 2.

Графік прямої виду у = kx. Для побудови прямої треба мати дві точки.

x	0	4
y	0	—2

Графік проходить через початок координат у ІІ і ІV чвертях.