
ГДЗ Діагностувальні роботи з алгебри 7 клас Кондратьєва, Теплова, Мартинюк (відповіді) НУШ
ГДЗ Алгебра 7 клас
ТЕМАТИЧНА ДІАГНОСТУВАЛЬНА РОБОТА № 7
СИСТЕМИ ДВОХ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ ДВОМА НЕВІДОМИМИ
І ВАРІАНТ
Завдання 1 Якщо в системі додати почленно ліві та праві частини рівнянь, то одержимо рівняння...
{ |
3х – 5у = 14 8х + 5у = 8 |
Почленно додамо рівняння.
8х + 3х + 5у – 5у = 8 + 14
8х + 3х = 8 + 14
11х = 22
А 5х + 22 = 0 Б 10у = 22 В 11х = 22 Г 5х = 6 Д 11х = 6
Завдання 2 Якщо всі члени першого рівняння помножити на 2 і рівняння почленно додати, то одержимо...
{ |
2х + у = 5 3х – 2у = 4 |
{ |
2х + у = 5 | • 2 3х – 2у = 4 |
{ |
4х + 2у = 10 3х – 2у = 4 |
4х + 3х + 2у – 2у = 10 + 4
7х = 14
А 7х = 14 Б 5х = 9 В 7у = 9 Г 8х = 16 Д 5х = 14
Завдання 3 Периметр прямокутника дорівнює 34 см, а його ширина на 3 см менша від довжини. Яка із систем відповідає умові задачі, якщо через х см позначили довжину прямокутника, а через у см — ширину?
a — x см
b — y см, на 3 см менша
Р — 34 см
Нехай х (см) – довжина прямокутника, у (см) – ширина прямокутника, 2(х + у) = 34 (см) – периметр прямокутника, х – у = 3 (см) – порівняли довжину і ширину.
{ |
2(х + у) = 34 х – у = 3 |
А{ |
х + у = 34 х – у = 3 |
Б{ |
2(х + у) = 34 х – у = 3 |
В{ |
х + у = 68 х – у = 3 |
Г{ |
2х + 2у = 34 у – х = 3 |
Д{ |
у – х = 3 х + у = 34 |
Завдання 4 Установити відповідність між рівняннями та вираженнями однієї змінної через другу.
Рівняння |
Виразили змінну х через у |
Виразили змінну у через х |
х + 5у = 12 |
х = 12 – 5у |
5у = 12 + х у = 12 – x5
|
Рівняння |
Виразили змінну х через у |
Виразили змінну у через х |
5х – у = 12 |
5х = 12 + у х = 12 + у5
|
у = 5х – 12 |
Рівняння |
Виразили змінну х через у |
Виразили змінну у через х |
5у – 12х = 0 |
12х = 5у х = 512у |
5у = 12х у = 125х у = 2,4х |
1 х + 5у = 12 ——> В х = 12 – 5у
2 5х – у = 12 ——> Г у = 5х – 12
3 5у – 12х = 0 ——> А у = 2,4х
Завдання 5 Розв’язати систему рівнянь.
{ |
3,5х – 4у = 4 1,5х + 8у = 9 |
{ |
3,5х – 4у = 4 | • 2 1,5х + 8у = 9 |
{ |
7х – 8у = 8 1,5х + 8у = 9 |
Додамо рівняння.
{ |
7х + 1,5х = 8 + 9 1,5х + 8у = 9 |
Розв’яжемо перше рівняння.
7х + 1,5х = 8 + 9
8,5х = 17
х = 17 : 8,5
х = 170 : 85
х = 2
Підставимо значення у друге рівняння.
1,5 • 2 + 8у = 9
3 + 8у = 9
8у = 9 – 3
8у = 6
у = 6 : 8
у = 0,75
Відповідь: (2; 0,75)
Завдання 6 Розв'язати задачу за допомогою системи рівнянь.
Катер за 3 год руху за течією і 4 год проти течії пройшов 102 км. Знайти власну швидкість катера та швидкість течії, якщо за 5 год за течією катер проходить на 6 км більше, ніж за 7 год проти течії.
За — 3 год зі швидкістю х + у Проти — 4 год зі швидкістю х – у Всього — 102 км |
За — 5 год зі швидкістю х + у, на 6 км більше Проти — 7 год зі швидкістю х – у |
Нехай х (км/год) – власна швидкість катера, у (км/год) – швидкість течії річки, тоді 3(х + у) + 4(х – у) = 102 (км) – пройдений шлях, 5(х + у) – 7(х – у) = 6 (км) – порівняли шлях.
{ |
3(х + у) + 4(х – у) = 102 5(х + у) – 7(х – у) = 6 |
Спростимо рівняння.
3(х + у) + 4(х – у) = 102 3х + 3у + 4х – 4у = 102 7х – у = 102 |
5(х + у) – 7(х – у) = 6 5х + 5у – 7х + 7у = 6 —2х + 12у = 6 | : (2) —х + 6у = 3 |
{ |
7х – у = 102 —х + 6у = 3 | • 7 |
{ |
7х – у = 102 —7х + 42у = 21 |
Додамо два рівняння
{ |
7х – у = 102 42у – у = 21 + 102 |
Розв’яжемо друге рівняння.
42у – у = 21 + 102
41у = 123
у = 123 : 41
у = 3 (км/год) – швидкість течії річки.
Значення підставимо у перше рівняння.
7х – 3 = 102
7х = 102 + 3
7х = 105
х = 105 : 7
х = (70 + 35) : 7
х = 15 (км/год) – власна швидкість катера.
Відповідь: 15км/год і 3 км/год.
Завдання 7* Дано систему рівнянь.
{ |
ах + 3у = с 2х + bу = 2 |
а) Замість а, b і с дібрати такі числа, щоб одержана система мала лише один розв'язок.
б) Замість а, b і с дібрати такі числа, щоб одержана система мала нескінченну кількість розв'язків.
в) Замість а, b і с дібрати такі числа, щоб одержана система не мала розв'язку.
Розв’язання
Виразимо змінну у через х.
ах + 3у = с 3у = с – ах 3у = —ах + с у = —а3х + с3 |
2х + by = 2 by = 2 – 2x by = —2x + 2 y = —2bx + 2b |
Маємо систему рівнянь
{ |
у = —a3x + c3 у = —2bх + 2b |
а) Маємо систему лінійних рівнянь, вона має один розв’язок, коли графіки перетинаються, тому має бути різний кутовий коефіцієнт.
{ |
у = —a3x + c3 у = —2bх + 2b |
{ |
у = —63x + 33 у = —22х + 22 |
{ |
у = —2x + 1 у = —1х + 1 |
Відповідь: а = 6, b = 2, c = 3
б) Маємо систему лінійних рівнянь, вона має безліч розв’язків, коли графіки збігаються (перетворенням зводяться один до одного).
{ |
у = —a3x + c3 у = —2bх + 2b |
{ |
у = —63x + 63 у = —21х + 21 |
{ |
у = —2x + 2 у = —2х + 2 |
Відповідь: а = 6, b = 1, c = 6
в) Система не має розв’язку, коли графіки паралельні (однаковий кутовий коефіцієнт, але різний вільний коефіцієнт).
{ |
у = —a3x + c3 у = —2b х + 2b |
{ |
у = —33x + 63 у = —22х + 22 |
{ |
у = —1x + 2 у = —1х + 1 |
Відповідь: а = 3, b = 2, c = 6
ІІ спосіб
Розв’язання
{ |
ах + 3у = с 2х + bу = 2 |
а) Систему лінійних рівнянь має один розв’язок, коли графіки перетинаються, тому мають бути різні кутові коефіцієнти.
{ |
ах + 3у = с 2х + bу = 2 |
Відповідь: а = 3, b = 3, c = 3
б) Система лінійних рівнянь має безліч розв’язків, коли графіки збігаються (перетворенням зводяться один до одного).
{ |
1х + 3у = 1 2х + 6у = 2 |
Відповідь: а = 1, b = 6, c = 1
в) Система не має розв’язку, коли графіки паралельні (як попередній, але різний вільний коефіцієнт).
{ |
1х + 3у = 5 2х + 6у = 2 |
Відповідь: а = 4, b = 8, c = 5
II ВАРІАНТ
Завдання 1 Якщо в системі додати почленно ліві та праві частини рівнянь, то одержимо рівняння.
{ |
4х + 3у = —36 —4х + 7у = 6 |
Почленно додамо рівняння.
3у + 7у = —36 + 6
10у = —30
А 8х = 30 Б 10у = 42 В 10у = —30 Г 7ху = —36 Д 10у = 30
Завдання 2 Якщо всі члени першого рівняння помножити на 2 і рівняння почленно додати, то одержимо.
{ |
х + 5у = 8 | • 2 —2х + 3у = 10 |
{ |
2х + 10у = 16 —2х + 3у = 10 |
2х + (—2х) + 10у + 3у = 16 + 10
13у = 26
А 8у = 18 Б 4х = 18 В 13у = 26 Г 12у = 36 Д13 у=18
Завдання 3 Майстер і учень разом за зміну виготовили 46 деталей, до того ж майстер виготовив на 8 деталей більше від учня. Яка із систем відповідає умові задачі, якщо через х позначили кількість деталей, виготовлених майстром, а через у — кількість деталей, виготовлених учнем?
М. — x д., на 8 д. більше
Уч. — y д.
Всього — 46 д.
Нехай х (д.) – виготовив майстер, у (д.) – виготовив учень, х + у = 46 (д.) – разом деталей, х – у = 8 (д.) – порівняли кількість деталей.
{ |
х + у = 46 х – у = 8 |
А{ |
х + у = 46 х – у = 8 |
Б{ |
х + у = 46 у – х = 8 |
В{ |
х + у = 46 х = 8у |
Г{ |
х + у = 46 у = 8х |
Д{ |
у – х = 3 2х + 2у = 46 |
Завдання 4 Установити відповідність між рівняннями та вираженнями однієї змінної через другу.
Рівняння |
Виразили змінну х через у |
Виразили змінну у через х |
х – 3у = 24 |
х = 24 + 3у |
х – 24 = 3у у = х – 243 |
Рівняння |
Виразили змінну х через у |
Виразили змінну у через х |
3х + у = 24 |
3х = 24 – у х = 24 – у3 |
у = 24 – 3х |
Рівняння |
Виразили змінну х через у |
Виразили змінну у через х |
4х + 24у = 0 |
4х = —24у | : 4 х = —6у
|
24у = —4х у = —424 х у = —16 х |
1 х – 3у = 24 ——> В х = 24 + 3у
2 3х + у = 24 ——> Г у = 24 – 3х
3 4х + 24у = 0 ——> Д х = —6у
Завдання 2 Розв’язати систему рівнянь.
{ |
14х – 27у = 30 7х + 9у = 60 |
{ |
14х – 27у = 30 7х + 9у = 60 | • 3 |
{ |
14х – 27у = 30 21х + 27у = 180 |
Додамо рівняння.
{ |
14х – 27у = 30 14х + 21х = 180 + 30 |
Розв’яжемо друге рівняння.
14 х + 21х = 180 + 30
35х = 210
х = 210 : 35
х = 6
Підставимо значення у перше рівняння.
14 • 6 – 27у = 30
84 – 27у = 30
84 – 30 = 27у
27у = 54
у = 54 : 27
у = 2
Відповідь: (6; 2)
Завдання 6 Розв'язати задачу за допомогою системи рівнянь.
Катер за 3 години руху за течією і 5 годин руху проти течії пройшов 108 км. Знайти власну швидкість катера і швидкість течії, якщо за 6 годин за течією він проходить стільки ж, скільки за 8 годин проти течії.
За — 3 год зі швидкістю х + у Проти — 5 год зі швидкістю х – у Всього — 108 км |
За — 6 год зі швидкістю х + у Проти — 8 год зі швидкістю х – у |
Нехай х (км/год) – власна швидкість катера, у (км/год) – швидкість течії річки, тоді 3(х + у) + 5(х – у) = 108 (км) – пройдений шлях, 6(х + у) = 8(х – у) – однаковий шлях.
{ |
3(х + у) + 5(х – у) = 108 6(х + у) = 8(х – у) |
Спростимо рівняння.
3(х + у) + 5(х – у) = 108 3х + 3у + 5х – 5у = 108 8х – 2у = 108 |
6(х + у) = 8(х – у) 6х + 6у = 8х – 8у 6х – 8х + 6у + 8у = 0 —2х + 14у = 0 |
{ |
8х – 2у = 108 —2х + 14у = 0 | • 4 |
{ |
8х – 2у = 108 —8х + 56у = 0 |
Додамо два рівняння
{ |
8х – 2у = 108 56у – 2у = 0 + 108 |
Розв’яжемо друге рівняння.
56у – 2у = 0 + 108
54у = 108
у = 108 : 54
у = 2 (км/год) – швидкість течії річки.
Значення підставимо у перше рівняння.
8х – 2 • 2 = 108
8х – 4 = 108
8х = 108 + 4
8х = 112
х = 112 : 8
х = (80 + 32) : 8
х = 14 (км/год) – власна швидкість катера.
Відповідь: 14км/год і 2 км/год.
Завдання 7* Дано систему рівнянь.
{ |
4х + aу = 6 bх + 8у = c |
а) Замість а, b і с дібрати такі числа, щоб одержана система мала лише один розв'язок.
б) Замість а, b і с дібрати такі числа, щоб одержана система мала нескінченну кількість розв'язків.
в) Замість а, b і с дібрати такі числа, щоб одержана система не мала розв'язку.
Розв’язання
Виразимо змінну у через х.
4х + aу = 6 aу = 6 – 4х у = —4x + 6 у = —4а х + 6а |
bх + 8y = c 8y = c – bx 8y = —bx + c y = —b8x + c8 |
Маємо систему рівнянь
{ |
у = —4ax + 6a у = —b8х + c8 |
а) Маємо систему лінійних рівнянь, вона має один розв’язок, коли графіки перетинаються, тому має бути різний кутовий коефіцієнт.
{ |
у = —4ax + 6a у = —b8х + c8 |
{ |
у = —41x + 61 у = —168х + 88 |
{ |
у = —4x + 6 у = —2х + 1 |
Відповідь: а = 1, b = 16, c = 8
б) Маємо систему лінійних рівнянь, вона має безліч розв’язків, коли графіки збігаються (перетворенням зводяться один до одного).
{ |
у = —4ax + 6a у = —b8х + c8 |
{ |
у = —42x + 62 у = —168х + 248 |
{ |
у = —2x + 3 у = —2х + 3 |
Відповідь: а = 2, b = 16, c = 24
в) Система не має розв’язку, коли графіки паралельні (однаковий кутовий коефіцієнт, але різний вільний коефіцієнт).
{ |
у = —4ax + 6a у = —b8х + c8 |
{ |
у = —42x + 62 у = —168х + 328 |
{ |
у = —2x + 3 у = —2х + 4 |
Відповідь: а = 2, b = 16, c = 32
ІІ спосіб
Розв’язання
{ |
4х + aу = 6 bх + 8у = c |
а) Систему лінійних рівнянь має один розв’язок, коли графіки перетинаються, тому мають бути різні кутові коефіцієнти.
{ |
4х + 2у = 6 5х + 8у = 3 |
Відповідь: а = 2, b = 5, c = 3
б) Система лінійних рівнянь має безліч розв’язків, коли графіки збігаються (перетворенням зводяться один до одного).
{ |
4х + 4у = 6 8х + 8у = 12 |
Відповідь: а = 4, b = 8, c = 12
в) Система не має розв’язку, коли графіки паралельні (як попередній, але різний вільний коефіцієнт).
{ |
4х + 4у = 6 8х + 8у = 5 |
Відповідь: а = 4, b = 8, c = 5
III ВАРІАНТ
Завдання 1 Якщо в системі рівнянь додати почленно ліві та праві частини рівнянь, то одержимо рівняння
{ |
9х + 4у = 16 —9х + 3у = 5 |
Почленно додамо рівняння.
4у + 3у = 16 + 5
7у = 21
А 18х = 21 Б 7у = 21 В у = 11 Г13ху =16 Д 7у = 11
Завдання 2 Якщо всі члени першого рівняння помножити на 3 і рівняння почленно додати, то одержимо.
{ |
2х – у = 6 | • 3 10х + 3у = 14 |
{ |
6х – 3у = 18 10х + 3у = 14 |
6х + 10х – 3у + 3у = 18 + 14
16х = 32
А 12х = 20 Б 6у = 20 В 16х = 32 Г 12х = 48 Д 16х = 20
Завдання 3 Мотузку завдовжки 20 м потрібно розрізати на дві частини так, щоб одна з них була на 4 м довша від іншої. Яка із систем відповідає умові задачі, якщо через х м позначили довшу частину, а через у м — коротшу?
І — х м, на 4 м довша
ІІ — у м
Всього — 20 м
Нехай х (м) – довжина коротшої частини, у (м) – довжина довшої частини, х + у = 20 (м) – довжина мотузки, х – у = 4 (м) – порівняли частини.
{ |
х + у = 20 х – у = 4 |
А{ |
х + у = 20 х – у = 4 |
Б{ |
х + у = 20 х + у = 4 |
В{ |
х + у = 4 х – у = 20 |
Г{ |
х + у = 20 у – х = 4 |
Д{ |
х – у = 4 2х + 2у = 20 |
Завдання 4 Установити відповідність між рівняннями та вираженнями однієї змінної через другу.
Рівняння |
Виразили змінну х через у |
Виразили змінну у через х |
х – 5у = 20 |
х = 20 + 5у |
х – 20 = 5у у = х – 205 |
Рівняння |
Виразили змінну х через у |
Виразили змінну у через х |
5х + у = 20 |
5х = 20 – у х = 20 – у5 |
у = 20 – 5х |
Рівняння |
Виразили змінну х через у |
Виразили змінну у через х |
2у + 20х = 0 |
20х = —2у х = —220у х = —110у |
2у = —20х | : 2 у = —10х |
1 х – 5у = 20 ——> В х = 20 + 5у
2 5х + у = 20 ——> Г у = 20 – 5х
3 2у + 20х = 0 ——> А у = —10х
Завдання 5 Розв’язати систему рівнянь.
{ |
14х – 9у = 24 7х – 2у = 17 |
{ |
14х – 9у = 24 7х – 2у = 17 | • (—2) |
{ |
14х – 9у = 24 —14х + 4у = —34 |
Додамо рівняння.
{ |
14х – 9у = 24 4у – 9у = —34 + 24 |
Розв’яжемо друге рівняння.
4у – 9у = —34 + 24
—5у = —10
у = —10 : (—5)
у = 2
Підставимо значення у перше рівняння.
14х – 9 • 2 = 24
14х – 18 = 24
14х = 24 + 18
14х = 42
х = 42 : 14
х = 3
Відповідь: (3; 2)
Завдання 6 Розв'язати задачу за допомогою системи рівнянь.
Із двох сіл одночасно вирушили назустріч один одному два пішоходи і зустрілися через 3 год. Відстань між селами 30 км. Один із пішоходів пройшов до зустрічі на 6 км більше, ніж другий. Знайти швидкості кожного пішохода.
—>х км/год t = 3 год <— у км/год А____________∆_________В 30 км |
t — 3 год
v1 — х км/год
v2 — у км/год
s1 — 3х км, на 6 км більше
s2 — 3у км
s — 30 км
Нехай х (км/год) – швидкість І пішохода, у (км/год) – швидкість ІІ пішохода, 3(х + у) = 30 (км) – загальна відстань, 3х – 3у = 6 (км) – порівняли відстань пішоходів.
{ |
3(х + у) = 30 3х – 3у = 6 |
{ |
3х + 3у = 30 3х – 3у = 6 |
Додамо два рівняння
{ |
3х + 3х = 30 + 6 3х – 3у = 6 |
Розв’яжемо перше рівняння.
3х + 3х = 30 + 6
6х = 36
х = 36 : 6
х = 6 (км/год) – швидкість першого пішохода.
Значення підставимо у друге рівняння.
3 • 6 – 3у = 6
18 – 3у = 6
18 – 6 = 3у
3у = 12
у = 12 : 3
у = 4 (км/год) – швидкість другого пішохода.
Відповідь: 3 км/год і 4 км/год.
Перевірка: 3 • (6 + 4) = 30, 3 • 6 – 3 • 4 = 18 – 12 = 6
Завдання 7* Дано рівняння бх – у = 3. Скласти таке рівняння, щоб воно разом з даним утворювало систему, яка...
а) має лише один розв'язок;
б) має нескінченну кількість розв'язків;
в) не має розв'язків.
Виразимо змінну у від х.
у = 6х – 3
а) Система лінійних рівнянь матиме один розв’язок, коли графіки рівнянь перетинаються, тому обов’язково має бути різний кутовий коефіцієнт.
у = 3х – 5
Рівняння 3х – у = 5
б) Система лінійних рівнянь матиме безліч розв’язків, коли графіки рівнянь суміщаються (після перетворення є тотожними).
6х – у = 3 | • 2
Рівняння 12х – 2у = 6
в) Система лінійних рівнянь не матиме розв’язків, коли графіки рівнянь паралельні (однаковий кутовий коефіцієнт).
у = 6х + 5
6х – у = —5
ІІ спосіб
а) Система лінійних рівнянь матиме один розв’язок, коли графіки рівнянь перетинаються, тому обов’язково має бути різний кутовий коефіцієнт.
6х – у = 3
Рівняння 3х – у = 5
б) Система лінійних рівнянь матиме безліч розв’язків, коли графіки рівнянь суміщаються (після перетворення є тотожними).
6х – у = 3 | • 2
Рівняння 12х – 2у = 6
в) Система лінійних рівнянь не матиме розв’язків, коли графіки рівнянь паралельні (однаковий кутовий коефіцієнт, але різний вільний коефіцієнт).
6х – у = —5
IV ВАРІАНТ
Завдання 1 Якщо в системі додати почленно ліві та праві частини рівнянь, то одержимо рівняння.
{ |
5х – 3у = 20 4х + 3у = 16 |
Почленно додамо рівняння.
5х + 4х = 20 + 16
9х = 36
А 9х = 36 Б 7ху = 16 В 6у = 36 Г 9х = 4 Д 9х + у = 36
Завдання 2 Якщо всі члени першого рівняння помножити на 3 і рівняння почленно додати, то одержимо.
{ |
—х + 2у = 1 | • 3 3х + 8у = 25 |
{ |
—3х + 6у = 3 3х + 8у = 25 |
—3х + 3х + 6у + 8у = 3 + 25
14у = 28
А 14у = 26 Б 10у = 24 В 6х = 24 Г 14у = 28 Д 6у = 28
Завдання 3 Периметр прямокутника дорівнює 70 см, а його ширина на 5 см менша від довжини. Яка із систем відповідає умові задачі, якщо через х см позначили ширину прямокутника, а через у см — його довжину?
a — у см
b — х см, на 5 см менша
Р — 70 см
Нехай у (см) – довжина прямокутника, х (см) – ширина прямокутника, 2(у + х) = 70 (см) – периметр прямокутника, у – х = 5 (см) – порівняли довжину і ширину.
{ |
2(у + х) = 70 у – х = 5 |
{ |
2(х + у) = 70 у – х = 5 |
{ |
2х + 2у = 70 у – х = 5 |
А{ |
х + у = 70 х – у = 5 |
Б{ |
2х + 2у = 70 у – х = 5 |
В{ |
2х + 2у = 70 х – у = 5 |
Г{ |
х + у = 70 у – х = 5 |
Д{ |
у – х = 5 2х + у = 70 |
Завдання 4 Установити відповідність між рівняннями та вираженнями однієї змінної через другу.
Рівняння |
Виразили змінну х через у |
Виразили змінну у через х |
х – 5у = 10 |
х = 10 + 5у |
х – 10 = 5у у = х – 105 |
Рівняння |
Виразили змінну х через у |
Виразили змінну у через х |
у + 3х = 10 |
3х = 10 – у х = 10 – у3 |
у = 10 – 3х |
Рівняння |
Виразили змінну х через у |
Виразили змінну у через х |
5у + 30х = 0 |
30х = —5у х = —530у х = —16у |
5у = —30х | : 5 у = —6х |
1 х – 5у = 10 ——> Г х = 10 + 5у
2 у + 3х = 10 ——> В у = 10 – 3х
3 5у + 30х = 0 ——> Д у = —6х
Завдання 5 Розв’язати систему рівнянь.
{ |
3х + 8у = 59 6х + 5у = 107 |
{ |
—6х – 16у = —118 | • (—2) 6х + 5у = 107 |
Додамо рівняння.
{ |
5у – 16у = 107 – 118 6х + 5у = 107 |
Розв’яжемо перше рівняння.
5у – 16у = 107 – 118
—11у = —11
у = —11 : (—11)
у = 1
Підставимо значення у перше рівняння.
6х + 5 • 1 = 107
6х + 5 = 107
6х = 107 – 5
6х = 102
х = 102 : 6
х = (60 + 42) : 6
х = 17
Відповідь: (17; 1)
Завдання 6 Розв'язати задачу за допомогою системи рівнянь.
Із двох міст, відстань між якими дорівнює 52 км, одночасно вирушили назустріч один одному два велосипедисти і зустрілися через 2 години Знайти швидкість кожного велосипедиста, якщо другий за 3 год проїхав на 18 км більше, ніж перший за 2 год.
—>х км/год t = 2 год <— у км/год А____________∆_________В 52 км |
t — 2 год
v1 — х км/год
v2 — у км/год
s1 — 2х км
s2 — 3у км, на 18 км більше
s — 52 км
Нехай х (км/год) – швидкість І велосипедиста, у (км/год) – швидкість ІІ велосипедиста, 2(х + у) = 52 (км) – загальна відстань, 3у – 2х = 18 (км) – порівняли відстань велосипедистів.
{ |
2(х + у) = 52 3у – 2х = 18 |
{ |
2х + 2у = 52 —2х + 3у = 18 |
Додамо два рівняння
{ |
2у + 3у = 52 + 18 —2х + 3у = 18 |
Розв’яжемо перше рівняння.
2у + 3у = 52 + 18
5у = 70
у = 70 : 5
у = (50 + 20) : 5
у =14 (км/год) – швидкість другого велосипедиста.
Значення підставимо у друге рівняння.
—2х + 3 • 14 = 18
—2х +42 = 18
42 – 18 = 2х
2х = 24
х = 24 : 2
х = 12 (км/год) – швидкість першого велосипедиста.
Відповідь: 12 км/год і 14 км/год.
Перевірка: 2 • (12 + 14) = 52, 3 • 14 – 2 • 12 = 42 – 24 = 18
Завдання 7* Дано рівняння 4х – 8у = 5. Скласти таке рівняння, щоб воно разом з даним утворювало систему, яка...
а) має лише один розв'язок:
б) має нескінченну кількість розв'язків;
в) не має розв'язків.
Виразимо змінну у від х.
8у = 4х + 5
у = 48х + 58
у = 0,5х + 0,625
а) Система лінійних рівнянь матиме один розв’язок, коли графіки рівнянь перетинаються, тому обов’язково має бути різний кутовий коефіцієнт.
у = 2х – 5
Рівняння 2х – у = 5
б) Система лінійних рівнянь матиме безліч розв’язків, коли графіки рівнянь суміщаються (після перетворення є тотожними).
4х – 8у = 5 | • 2
Рівняння 8х – 16у = 10
в) Система лінійних рівнянь не матиме розв’язків, коли графіки рівнянь паралельні (однаковий кутовий коефіцієнт, але різний вільний коефіцієнт).
у = 0,5х – 1 | • 4
4у = 2х – 4
Рівняння х – 2у = 4
ІІ спосіб
а) Система лінійних рівнянь матиме один розв’язок, коли графіки рівнянь перетинаються, тому обов’язково має бути різний кутовий коефіцієнт.
Рівняння 2х – у = 5
б) Система лінійних рівнянь матиме безліч розв’язків, коли графіки рівнянь суміщаються (після перетворення є тотожними).
4х – 8у = 5 | • 2
Рівняння 8х – 16у = 10
в) Система лінійних рівнянь не матиме розв’язків, коли графіки рівнянь паралельні (однаковий кутовий коефіцієнт, але різний вільний коефіцієнт).
Рівняння 8х – 16у = 4