ГДЗ Геометрія 8 клас зошит Самостійні та діагностичні роботи Істер НУШ (відповіді)

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА 1 [2M]

Чотирикутники, його елементи, паралелограм та його види

ВАРІАНТ 1

Завдання 1  Укажіть, який з відрізків є діагоналлю чотирикутника AMKL.

Діагональ проводимо від кута до протилежного, тому маємо діагоналі АК (або КА), ML(або LM). 

А МК      Б АК        В AM      Г AL

Завдання 2 Знайдіть тупий кут паралелограма, якщо гострий його кут дорів­нює 15°.

У паралелограма для гострого кута тупим буде сусідній кут, а сума двох його сусідніх кутів дорівнює 180°.

180° – 15° = 165°

А 75°       Б 155°        В 165°       Г 175°

Завдання 3 Знайдіть сторону квадрата, периметр якого дорівнює 48 см.

а — ? см

Р — 48 см

У квадрата всі сторони рівні.

48 : 4 = 12 (см) – сторона квадрата.

А 24 см       Б 16 см       В 8 см      Г 12 см

Завдання 4 Периметр прямокутника дорівнює 20 см. Знайдіть його сторони, якщо одна з них на 2 см менша від другої.

а — х (см)

b — (х – 2) см

P— 20 см

Розв’язання

Півпериметр прямокутника – сума довжини і ширини.

Нехай х (см) – довжина, тоді х – 2 (см) – ширина. Маємо рівняння.

х + (х – 2) = 20 : 2

2х – 2 = 10

2х = 10 + 2

2х = 12

х = 12 : 2

х = 6 (см) – довжина прямокутника.

х – 2 = 6 – 2 = 4 (см) – ширина прямокутника.

Відповідь: 6 см, 4 см, 6 см, 4 см.

Завдання 5 ABCD – ромб, ∠ACD = 25°. Знайдіть кути ромба.

За умовою АВСD – ромб (вид паралелограма), тому протилежні кути рівні.

∠ACD = 25° – кут між діагоналлю АС і стороною СD, за властивістю діагоналі АС ромба вона є бісектрисою його кута ВСD, ВСD = 2ACD = 2 • 25° = 50° – кут гострий ромба.

У паралелограмі сусідній до гострого кута є тупий, сума двох сусідніх кутів дорівнює 180°, звідки 180° – 50° = 130° – тупий кут ромба.     

Відповідь: 50°, 130°, 50°, 130°.

Завдання 6 На малюнку KF = LP, ∠LPK = ∠PKF. Дове­діть, що LPFK – паралелограм.

За умовою KF = LP– протилежні сторони рівні, ∠LPK = ∠PKF.

РК – січна до прямих, на яких лежать сторони LP і KF, а ∠LPK = ∠PKF – рівні внутрішні різносторонні кути, за ознакою паралельності прямих PL || FK. Чотирикутник LPFK – паралелограм за 1) ознакою (дві сторони рівні і паралельні), що й треба було довести.

Завдання 7  Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1,3, 5, 11. Опуклим чи неопуклим є цей чотирикутник?

Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. 

І — х

ІІ — 3х

ІІІ — 5х

ІV — 11х

Всього — 360°

Нехай х (°) – градусна міра першого кута, 3х (°) – градусна міра другого  кута, 5х (°) – градусна міра третього кута, 11х (°) – градусна міра четвертого кута. Маємо рівняння.

х + 3х + 5х + 11х = 360

20х = 360

х = 360 : 20

х = (200 + 160) : 20

х = 18 (°) – міра першого кута.

3х = 18 • 3 = (10 + 8) • 3 = 54 (°) – міра другого кута.  

3х = 18 • 5 = (10 + 8) • 5 = 90 (°) – міра третього кута. 

3х = 18 • 11 = 180 + 18 = 198 (°) – міра четвертого кута. 

Оскільки один із кутів більший за розгорнутий 198° > 180°, то чотирикутник є неопуклим.  

Відповідь: 18°, 54°, 90°, 198°.

Завдання 8 Висоти, проведені з вершини гострого кута ромба, утворюють між собою кут 110°. Знайдіть кути ромба.

За умовою АВСD – ромб, тому АВ = AD, АО і АР – висоти з гострого кута А (вони лежатимуть на уявному подовженні відповідних сторін ВС і СВ), ∠ОАР = 110°.   

АС – діагональ ромба є бісектрисою гострого кута DАВ, ∠BАС = ∠DAC.

Точки бісектриси АС рівновіддалені від сторін кута С (за властивістю бісектриси кута), тому АО = АР. Прямокутні трикутники ∆AOB = ∆APD (за катетом і гіпотенузою), відповідні кути рівні ∠OAB = ∠PAD.

За основною властивістю вимірювання кутів ∠OAP = 2∠OAB + 2∠ВАС = 2∠ОАС, ∠ОАС = ∠ОАР/2 = 110° : 2 = 55°.

Розглянемо прямокутний ∆АОС, за властивістю суми його кутів ∠ОСА = 90° – ∠ОАС = 90° – 55° = 35° – половина гострого кута ромба.

35° • 2 = 70 – гострий кут ромба.

Сусіднім до гострого кута ромба буде тупий кут, тоді 180° – 70° = 110° (за властивістю про суму сусідніх кутів ромба).

Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°.   

Завдання 9 Бісектриса кута D паралелограма ABCD ділить сторону АВ на два відрізки AM і MB так, що AM : MB = 2 : 5. Знайдіть сторони пара­лелограма, якщо його периметр дорівнює 72 см.

Півпериметр паралелограма – сума довжин сусідніх сторін.

За умовою АВСD – паралелограм, АВ = CD, ВС = AD, АВ – бісектриса кута D, ∠CDM = ∠ADM. Через точку М проведемо PM || AD, то MD – січна для прямих паралельних прямих PD і MA. За властивістю паралельних прямих внутрішні різносторонні  ∠PDM = ∠DMA, тому ∆MDA – рівнобедрений (ознака за двома рівними кутами), звідси АD = AM (за означенням рівнобедреного трикутника).

М – точка належить стороні АВ, АВ = АМ + МВ (за основною властивістю вимірювання відрізків).

Нехай х (см) – довжина одної частини, 2х (см) – довжина сторони AD, 2х+ 5х (см) – довжина сторони АВ, тоді 2х + 7х (см) – півпериметр паралелограма. Маємо рівняння.

2х + 7х = 72 : 2

9х = 36

х = 36 : 9

х = 4 (см) – довжина частини.

2х = 4 • 2 = 8 (см) – сторона AD паралелограма.

7х = 4 • 7 = 28 (см) – сторона AB паралелограма.

Відповідь: АВ = CD = 28 см, ВС = AD = 8 см.