ЕК-6

Подільність натуральних чисел

ВАРІАНТ 2

Середній рівень

Завдання 1 Розклади на прості множники число 2100.

2100|3  700|2  350|5   70|2   35|5    7|7    1

2100 = 2 • 2 • 3 • 5 • 5 • 7

Відповідь: 2 • 2 • 3 • 5 • 5 • 7.

Завдання 2 Знайди найбільший спільний дільник чисел 42 і 140.

42|2 21|3   7|7   1

140|2   70|2   35|5    7|7    1

42 = 2 • 3 • 7

140 = 2 • 2 • 5 • 7

НСД(42; 140) = 2 • 7 = 14

Відповідь: НСД(42; 140) = 14.

Завдання 3 Знайди найменше спільне кратне чисел 60 і 132.

60|3 20|2 10|2  5|5  1

132|2  44|3  22|2  11|11    1

60 = 2 • 2 • 3 • 5

132 =2 • 2 • 3 • 11

НСК(60; 132) = 2 • 2 • 3 • 5 • 11 = 10 • 6 • 11 = 110 • 6 = 660

Відповідь: НСК(60; 132) = 660.

Достатній рівень

Завдання 1 Чи є взаємно простими числа 99 і 350?

Взаємно прості числа не мають спільних дільників, крім 1.

99|3 33|3 11|11   1

350|5   70|7   10|2    5|5    1

99 = 3 • 3 • 11

350 = 5 • 4 • 2 • 5

Відповідь: так, числа 99 і 350 є взаємно простими.

Завдання 2

1) Склади трицифрове число, яке ділиться на 9, з таких цифр (цифри в числі можуть повторюватися) 2 і 5.

Число ділиться на 9, якщо сума його цифр ділиться на 9.

Оскільки 2 + 5 + 5 = 12 – цифри не підходять.

Оскільки 2 + 5 + 2 = 9 – цифри підходять, маємо числа 252, 225, 552.

Відповідь: 252.

1) Склади трицифрове число, яке ділиться на 9, з таких цифр (цифри в числі можуть повторюватися): 1 і 8.

Число ділиться на 9, якщо сума його цифр ділиться на 9.

Оскільки 1 + 8 + 1 = 10 – цифри не підходять.

Оскільки 1 + 8 + 8 = 17 – цифри не підходять.

Відповідь: неможливо скласти таке трицифрове число.  

Завдання 3 З одного міста в одному напрямку одночасно вирушили велосипедистка, яка робить зупинки через кожні 18 км, і мотоцикліст, який зупиняється через кожні 24 км. Яку найменшу відстань вони мають проїхати, щоб їхні зупинки збіглися?

І — ? км — ? з. по 18 км

ІІ — ? км — ? з. по 24 км

Оскільки загальна відстань знаходиться множенням, треба знайти НСК.

18|2  9|3  3|3  1

24|2 12|3  4|2  2|2  1

18 = 2 • 3 • 3

24 = 2 • 3 • 2 • 2  

НСК(18; 24) = 2 • 3 • 3 • 2 • 2 = 8 • 9 = 72

Відповідь: щонайменше мають проїхати 72 км.

Високий рівень

Завдання 1 Знайди найменше п'ятицифрове число, кратне числу 19.

10000 – найменше п’ятицифрове число.

_10000|19     95     526  _  50      38    _120      114         6

10000 : 17 = 526 (ост. 6)

Наступне ціле число 527, то 527 • 19 = 10013.

х  527       19 +4743   527  10013

Відповідь: 10 013.

Завдання 2 Постав замість зірочок такі цифри, щоб число 2*3* ділилося на 3 і 5, а число *48* ділилося на 2 і 9.

1) Якщо число 3*5* ділиться на 5, то його остання цифра 0 або 5.

Нехай остання цифра 5, то маємо число 3*55.

Число ділиться на 3, якщо сума його цифр ділиться на 3.

Оскільки 3 + х + 5 + 5 = х + 13, то підходить одна із цифр: 2, 5, 8.  

Відповідь: 3255.

2) Парне число ділиться на 2. Якщо число *48* ділиться на 9, то сума його цифр ділиться на 9.

Нехай остання цифра 2, то маємо число *482.

Оскільки х + 4 + 8 + 2 = х + 14, то підходить цифра 4.

Відповідь: 4482.

Завдання 3 На станції стоять два пасажирські поїзди. У плацкартних вагонах першого поїзда — 216 місць, а другого — 270 місць. Скільки плацкартних вагонів у кожному поїзді, якщо в кожному плацкартному вагоні першого і другого поїздів однакова кількість місць і вона більша за З0?

І — 216 м. — ? в. по ? м.

ІІ — 270 м. — ? в. по ? м.

Оскільки кількість місць знаходимо дією ділення, то треба знайти спільні дільники, причому більші за 30.  

216|2 108|2  54|2  27|3   9|3   3|3   1

270|2 135|5  27|3   9|3   3|3   1

216 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • З

270 = 2 • 3 • 3 • 3 • 5

НСД (216; 270) = 2 • 3 • 3 • 3 = 6 • 9 = 54.

Дільники числа 54:  1, 2, 3, 4, б, 9, 18, 27, 54.

54 > 30 – підходить.

1) 216 : 54 = 4 (в.) — у І поїзді;

2) 270 : 54 = 5 (в.) — у ІІ поїзді.

Відповідь: у першому поїзді 4 вагони, у другому – 5 вагонів.