ЕК-6

Подільність натуральних чисел

ВАРІАНТ 1

Середній рівень

Завдання 1 Розклади на прості множники число 1260.

1260|2  630|2  315|5    63|3    21|3      7|7      1

1260 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 7

Відповідь: 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 7

Завдання 2 Знайди найбільший спільний дільник чисел 70 і 126.

70|2 35|5   7|7   1

126|2   63|3   21|3    7|7    1

70 = 2 • 5 • 7

126 = 2 • 3 • 3 • 7

НСД(70; 126) = 2 • 7 = 14

Відповідь: НСД(70; 126) =14.

Завдання 3 Знайди найменше спільне кратне чисел 90 і 198.

90|3 30|3 10|2  5|5  1

198|2  99|3  33|3  11|11    1

90 = 2 • 3 • 3 • 5

198 =2 • 3 • 3 • 11

НСК(90; 98) = 5 • 3 • 3 • 2 • 11 = 10 • 9 • 11 = 110 • 9 = 990

Відповідь: НСК(90; 198) = 990.

Достатній рівень

Завдання 1 Чи є взаємно простими числа 63 і 220?

Взаємно прості числа не мають спільних дільників, крім 1.

63|3 21|3   7|7   1

220|2 110|11   10|2    5|5    1

63 = 3 • 3 • 7

220 = 2 • 2 • 5 • 11

Відповідь: так, числа 63 і 220 є взаємно простими.

Завдання 2

1) Склади трицифрове число, яке ділиться на 9, з таких цифр (цифри в числі можуть повторюватися): 1 і 7.

Число ділиться на 9, якщо сума його цифр ділиться на 9.

Оскільки 1 + 7 + 7 = 15 – цифри не підходять.

Оскільки 1 + 7 + 1 = 9 – цифри підходять, маємо числа 171, 177, 711.

Відповідь: 171.

 

2) Склади трицифрове число, яке ділиться на 9, з таких цифр (цифри в числі можуть повторюватися): 2 і 4.

Число ділиться на 9, якщо сума його цифр ділиться на 9.

Оскільки 2 + 4 + 4 = 10 – цифри не підходять.

Оскільки 2 + 4 + 2 = 8 – цифри не підходять.

Відповідь: неможливо скласти таке трицифрове число.    

Завдання 3 Дві групи велотуристів одночасно вирушили в одному напрямку. Перша група робить зупинки через кожні 12 км, а друга — через кожні 18 км. Яку найменшу відстань вони мають проїхати, щоб їхні зупинки збіглися?

І — ? км — ? з. по 12 км

ІІ — ? км — ? з. по 18 км

Оскільки загальна відстань знаходиться множенням, треба знайти НСК.

12|2  6|2  3|3  1

18|2  9|3  3|3  1

12 = 2 • 2 • 3

18 = 2 • 3 • З

НСК(12; 18) = 2 • 2 • 3 • 3 = 4 • 9 = 36

Відповідь: щонайменше мають проїхати 36 км.

Високий рівень

Завдання 1 Знайди найменше п'ятицифрове число, кратне числу 17.

10000 – найменше п’ятицифрове число.

_10000| 17    85     588  _150    136     _140      136         4

10000 : 17 = 588 (ост. 4)

Наступне ціле число 589, то 589 • 17 = 10013.

х  589       17 +4123   589   10213

Відповідь: 10 013.

Завдання 2 Постав замість зірочок такі цифри, щоб число 1*5* ділилося на 3 і 5, а число *37* ділилося на 2 і 9.

1) Якщо число 1*5* ділиться на 5, то його остання цифра 0 або 5.

Нехай остання цифра 5, то маємо число 1*55.

Число ділиться на 3, якщо сума його цифр ділиться на 3.

Оскільки 1 + х + 5 + 5 = х + 11, то підходить одна із цифр: 1, 4, 7.  

Відповідь: 1155.

2) Парне число ділиться на 2. Якщо число *37* ділиться на 9, то сума його цифр ділиться на 9.

Нехай остання цифра 2, то маємо число *372.

Оскільки х + 3 + 7 + 2 = х + 12, то підходить цифра 6.

Відповідь: 6372.

Завдання 3 На станції стоять два пасажирські поїзди. У купейних вагонах першого поїзда 144 місця, а другого — 180 місць. Скільки купейних вагонів у кожному поїзді, якщо в кожному купейному вагоні першого і другого поїздів однакова кількість місць і вона більша за 20?

І — 144 м. — ? в. по ? м.

ІІ — 180 м. — ? в. по ? м.

Оскільки кількість місць знаходимо дією ділення, то треба знайти спільні дільники, причому більші за 20.  

144|2  72|2  36|2  18|2   9|3   3|3   1

180|2  90|3  30|3  10|2   5|5   1

144 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • З

180 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5

НСД (144; 180) = 2 • 2 • 3 • 3 = 4 • 9 = 36.

Дільники числа 36:  1, 2, 3, 4, б, 9, 12, 18, 36.

36 > 20 – підходить.

1) 144 : 36 = 4 (в.) — у І поїзді;

2) 180 : 36 = 5 (в.) — у ІІ поїзді.

Відповідь: у першому поїзді 4 вагони, у другому – 5 вагонів.