ГДЗ Алгебра 8 клас (Самостійні та діагностичні роботи) Істер О.С. 2025 рік

ДІАГНОСТИЧНА РОБОТА [5М]

Степінь із цілим показником. Стандартний вигляд числа. Функція у = k/x

ВАРІАНТ 1

Завдання 1

а⁸ : а^—2 = a^{8 – (—2)} = a⁸⁺² = a¹⁰

А а^—4    Б a⁶    В а¹⁰    Г a^—16

Завдання 2 Укажіть число, записане у стандартному вигляді.

Стандартний вигляд числа b = a • 10 ⁿ, де 1≤ а ≤ 10.  

А 17,9 • 10³    Б 1,79 • 10³     В 1,79 • 8³     Г 0,179 • 10³

Завдання 3 Укажіть функцію, що є оберненою пропорційністю.

у = $\frac{k}{x}$ , де k – числовий коефіцієнт.  

А y = — $$\begin{gathered} \frac{6}{x^2 \\ } \end{gathered}$$     Б у = —6x   В = — $\frac{x}{6}$      Г y = — $\frac{6}{x}$

Завдання 4 Обчисліть:

1) 3^—2 = $$\begin{gathered} \frac{1}{3^2 \\ }=\frac{1}{9} \end{gathered}$$ 

2) (—7)^—1 = $$\begin{gathered} \frac{1}{\left(7\right) \\ } \end{gathered}$$ = — $\frac{1}{7}$

3) (1 $\frac{1}{2}$ )^—3 = ($$\begin{gathered} \frac{12+1 \\ }{2} \end{gathered}$$ )^—3 = ( $\frac{3}{2}$ )^—3 = ($\frac{2}{3}$ )³ = $$\begin{gathered} \frac{2^3 \\ }{3^3 \\ }=\frac{8}{27} \end{gathered}$$ 

4) (2,1 • 10⁵) • (3 • 10^—7) = 2,1 • 3 • 10^5+(—7) = 6,3 • 10^—2 

Завдання 5 Спростіть вираз.

1) —Зm^—3n⁸ • 1 $\frac{1}{3}$ m^—5n^—4 = —Зm^—3n⁸ • $$\begin{gathered} \frac{13+1 \\ }{3} \end{gathered}$$ m^—5n^—4 =

= —Зm^—3n⁸ • $$\begin{gathered} \frac{4 \\ }{3} \end{gathered}$$ m^—5n^—4 = = — $$\begin{gathered} \frac{34 \\ }{3} \end{gathered}$$ • m^—3+(—5)n^8+(—4) =

= — 4 m^—8n⁴ = — $$\begin{gathered} \frac{{4n}^4 \\ }{m^8 \\ } \end{gathered}$$ 

2) (— $\frac{3}{4}$ a⁵b) • (— $\frac{8}{15}$ a^—7b^—1) = $$\begin{gathered} \frac{38 \\ }{415 \\ } \end{gathered}$$ • a^5+(—7)b^1+(—1) =

= $\frac{2}{5}$ a^—2b⁰ = 0,4 a^—2

Завдання 6 Подайте число у стандартному вигляді:

1) 32 000 = 3,2 • 10^—4  

2) 0,5 = 5 • 10^—1  

3) 297,3 = 2,973 • 10²  

4) 0,0207 = 2,07 • 10^—2

Завдання 7 Подайте у вигляді виразу, який не містить степеня з від'ємним показником.

1) (3,5а³Ь^—7) : (0,5а^—4b^—2) =

 = 3,5 : 0,5 • a^3–(—4)b^{—7–(—2)} =

 = 3,5 : 0,5 • a³⁺⁴b^—7+2 =

= $\frac{35}{5}$ • a⁷b^—5 = $$\begin{gathered} \frac{{7a}^7}{b^5 \\ } \end{gathered}$$ 

2) ( $$\begin{gathered} \frac{{3a}^4 \\ }{{5b}^7 \\ } \end{gathered}$$ )^—2 • 9a⁸b^—17 =

= ( $$\begin{gathered} \frac{{5b}^7 \\ }{{3a}^4 \\ } \end{gathered}$$ )² • 9a⁸b^—17 =

= $$\begin{gathered} \frac{5^2{b}^{72} \\ }{3^2{a}^{42} \\ } \end{gathered}$$ • 9a⁸b^—17 =

= $$\begin{gathered} \frac{ \\ {25b}^{14} \\ }{{9a}^8 \\ } \end{gathered}$$ • 9a⁸b^—17 =

= $$\begin{gathered} \frac{259 \\ }{9} \end{gathered}$$ • b¹⁴a^—8 • a⁸b^—17 =

= 25a^—8+8b^14+(—17) =

= 25a⁰b^—3 = 25b^—3 

Завдання 8 Побудуйте графік функції у = $\frac{8}{x}$ .

1) Користуючись графіком, знайдіть значення функції, якщо значення аргументу дорівнює —2; 4.

y(—2) = $$\begin{gathered} \frac{8}{2 \\ } \end{gathered}$$ = —4

y(4) = $\frac{8}{4}$ = 2

Відповідь: (—2; —4), (4;2)

2) Користуючись графіком, знайдіть значення аргументу, за яких функція дорівнює —1; 8.

y = —1	y = 8
—8 = $\frac{8}{x}$  —8x = 8 x = 8 : (—8) x = —1	8 = $\frac{8}{x}$    8x = 8 x = 8 : 8 x = 1

Відповідь: (—1; —1), (1;8)

3) Користуючись графіком, знайдіть значення аргументу, за яких функція набуває від'ємних зна­чень; додатних значень.

Графіком функції є гіпербола у І та ІІІ чвертях, оскільки k = 8, k > 0. Областю визначення функції є множина всіх чисел, крім 0 (оскільки ділити на нуль не можна).    

Функція набуває від’ємних значень для точок у ІІІ чверті, тоді х < 0.

Функція набуває додатних значень для точок у І чверті, тоді х > 0.

Завдання 9 Скоротіть дріб.

1) $$\begin{gathered} \frac{45}{4^{n+2}{4}^n \\ }=\frac{45}{\left(4^{2}1\right)4^n \\ }=\frac{45}{154^n \\ } \end{gathered}$$ =

 = $$\begin{gathered} \frac{153 \\ }{154^n \\ }=\frac{3}{4^n \\ } \end{gathered}$$ = 3•4^—n 

2) $$\begin{gathered} \frac{x^2+x^3 \\ }{x^6+x \\ }=\frac{{х}^{2+0}+x^{2+}^\left(5\right) \\ }{x(x^5+1) \\ } \end{gathered}$$ =

= $$\begin{gathered} \frac{{х}^2{х}^0+x^2{х}^5 \\ }{x(x^5+1) \\ }=\frac{x^2(x^0+x^5) \\ }{x(x^5+1) \\ } \end{gathered}$$ =

= $$\begin{gathered} \frac{x^2(1+x^5) \\ }{x(x^5+1) \\ }=\frac{x^2 \\ }{x}=\frac{1}{хx^2 \\ }=\frac{1}{x^3 \\ } \end{gathered}$$